🎓 8. Sınıf (LGS)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi Çözümlü Sorular
8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Çarpma İşlemi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru 1: Aşağıdaki çarpma işleminin sonucunu bulunuz.
\( 3^5 \cdot 3^2 \)
\( 3^5 \cdot 3^2 \)
Çözüm:
Bu soru, üslü sayılarda çarpma işleminin temel kuralını anlamak için idealdir.
- 💡 Kural Hatırlatma: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, üsler toplanır, taban aynı kalır. Yani, \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \) formülü kullanılır.
- 📌 Adım 1: Verilen ifadede tabanların aynı olduğunu (her ikisi de 3) ve üslerin farklı olduğunu (5 ve 2) görüyoruz.
- 👉 Adım 2: Kuralı uygulayarak üsleri topluyoruz: \( 5 + 2 = 7 \).
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 3^7 \) olarak bulunur.
Soru 2:
Soru 2: Aşağıdaki çarpma işlemini yapınız.
\( 2^4 \cdot 5^4 \)
\( 2^4 \cdot 5^4 \)
Çözüm:
Bu soru, üslü sayılarda çarpma işleminin bir diğer temel kuralını pekiştirir.
- 💡 Kural Hatırlatma: Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, tabanlar çarpılır, ortak üs aynen yazılır. Yani, \( a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x \) formülü kullanılır.
- 📌 Adım 1: Verilen ifadede üslerin aynı olduğunu (her ikisi de 4) ve tabanların farklı olduğunu (2 ve 5) görüyoruz.
- 👉 Adım 2: Kuralı uygulayarak tabanları çarpıyoruz: \( 2 \cdot 5 = 10 \).
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 10^4 \) olarak bulunur.
Soru 3:
Soru 3: \( 2^3 \cdot 4^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, üslü sayılarda çarpma yapabilmek için tabanları eşitleme yeteneğini ölçer.
- 💡 Strateji: Tabanlar ve üsler farklı olduğunda, genellikle tabanlardan birini diğerinin kuvveti olarak yazarak tabanları eşitlemeye çalışırız.
- 📌 Adım 1: İfadeyi inceliyoruz: \( 2^3 \cdot 4^2 \). Tabanlar (2 ve 4) ve üsler (3 ve 2) farklı.
- 👉 Adım 2: 4 sayısının 2'nin bir kuvveti olduğunu biliyoruz: \( 4 = 2^2 \). Bu bilgiyi kullanarak \( 4^2 \) ifadesini yeniden yazalım.
- 👉 Adım 3: \( 4^2 = (2^2)^2 \) olur. Üssün üssü kuralından \((a^x)^y = a^{x \cdot y}\) olduğundan, \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \) elde ederiz.
- 👉 Adım 4: Şimdi ilk ifadeyi yeni bulduğumuz ifadeyle çarpalım: \( 2^3 \cdot 2^4 \).
- 👉 Adım 5: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 3 + 4 = 7 \).
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 2^7 \) olarak bulunur.
Soru 4:
Soru 4: \( 5^{-2} \cdot 5^6 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, negatif üs kavramını içeren çarpma işlemini test eder.
- 💡 Kural Hatırlatma: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken, üsler toplanır, taban aynı kalır. Negatif sayılarla toplama işlemi yapılırken işaretlere dikkat etmek önemlidir.
- 📌 Adım 1: Verilen ifade \( 5^{-2} \cdot 5^6 \). Tabanlar aynı (5).
- 👉 Adım 2: Üsleri topluyoruz: \( -2 + 6 \).
- 👉 Adım 3: \( -2 + 6 = 4 \).
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 5^4 \) olarak bulunur.
Soru 5:
Soru 5: \( 9^3 \cdot 27^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, hem tabanları eşitleme hem de negatif üs kullanma becerisini bir araya getirir.
- 💡 Strateji: Tabanlar farklı (9 ve 27). Her ikisi de 3'ün kuvveti olarak yazılabilir. Bu şekilde tabanları eşitleyebiliriz.
- 📌 Adım 1: 9'u 3'ün kuvveti olarak yazalım: \( 9 = 3^2 \). Bu durumda \( 9^3 = (3^2)^3 \).
- 👉 Adım 2: Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \).
- 📌 Adım 3: 27'yi 3'ün kuvveti olarak yazalım: \( 27 = 3^3 \). Bu durumda \( 27^{-2} = (3^3)^{-2} \).
- 👉 Adım 4: Üssün üssü kuralını uygulayalım: \( (3^3)^{-2} = 3^{3 \cdot (-2)} = 3^{-6} \).
- 👉 Adım 5: Şimdi ilk ifadeyi yeni bulduğumuz ifadeyle çarpalım: \( 3^6 \cdot 3^{-6} \).
- 👉 Adım 6: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 6 + (-6) = 0 \).
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 3^0 = 1 \) olarak bulunur.
Soru 6:
Soru 6: Bir bakteri türü her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalmaktadır. Başlangıçta bir ortamda \( 2^5 \) adet bakteri bulunmaktadır. 2 saat sonra bu ortamdaki toplam bakteri sayısı kaç olur?
Çözüm:
Bu problem, üslü sayılarda çarpma işlemini günlük hayat senaryosuyla birleştirerek analitik düşünme becerisini ölçer.
- 💡 Adım 1: İlk olarak, 2 saatlik sürenin kaç tane 20 dakikalık periyot içerdiğini bulmalıyız.
- 📌 Adım 2: 2 saat = \( 2 \times 60 = 120 \) dakika.
- 👉 Adım 3: 120 dakika içinde kaç tane 20 dakika olduğunu bulmak için bölme işlemi yaparız: \( 120 \div 20 = 6 \) periyot.
- 📌 Adım 4: Her periyotta bakteri sayısı iki katına çıkıyor, yani 2 ile çarpılıyor. Bu 6 periyot boyunca \( 2^6 \) katına çıkacağı anlamına gelir.
- 👉 Adım 5: Başlangıçtaki bakteri sayısı \( 2^5 \) idi. 6 periyot sonunda bu sayı \( 2^5 \cdot 2^6 \) olur.
- 👉 Adım 6: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 5 + 6 = 11 \).
- ✅ Sonuç: 2 saat sonra ortamdaki toplam bakteri sayısı \( 2^{11} \) olur.
Soru 7:
Soru 7: Kenar uzunlukları \( 3^4 \) cm ve \( 9^2 \) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın alanı kaç \( \text{cm}^2 \) dir?
Çözüm:
Bu problem, geometri ve üslü sayılar bilgisini birleştirerek alanı hesaplamayı gerektirir.
- 💡 Adım 1: Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpılmasıyla bulunur. Alan = uzunluk \(\times\) genişlik.
- 📌 Adım 2: Verilen kenar uzunlukları \( 3^4 \) cm ve \( 9^2 \) cm'dir.
- 👉 Adım 3: Çarpma işlemi yapabilmek için tabanları eşitlemeliyiz. \( 9^2 \) ifadesindeki 9'u 3'ün kuvveti olarak yazalım: \( 9 = 3^2 \).
- 👉 Adım 4: Bu durumda \( 9^2 = (3^2)^2 \) olur. Üssün üssü kuralından \( (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4 \) elde ederiz.
- 👉 Adım 5: Şimdi tarlanın alanını hesaplamak için kenar uzunluklarını çarpalım: \( 3^4 \cdot 3^4 \).
- 👉 Adım 6: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 4 + 4 = 8 \).
- ✅ Sonuç: Tarlanın alanı \( 3^8 \) \( \text{cm}^2 \) dir.
Soru 8:
Soru 8: Aşağıdaki eşitliği sağlayan x değeri kaçtır?
\( 2^x \cdot 8^3 = 4^5 \)
\( 2^x \cdot 8^3 = 4^5 \)
Çözüm:
Bu soru, üslü denklem çözme becerisi gerektiren, LGS tarzı bir problemdir.
- 💡 Strateji: Eşitliğin her iki tarafındaki tüm sayıları aynı tabanın kuvveti olarak yazmaya çalışmalıyız. Burada en uygun taban 2'dir.
- 📌 Adım 1: Eşitlikteki \( 8^3 \) ifadesini 2 tabanında yazalım: \( 8 = 2^3 \). Bu durumda \( 8^3 = (2^3)^3 \).
- 👉 Adım 2: Üssün üssü kuralından \( (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \) elde ederiz.
- 📌 Adım 3: Eşitliğin sağ tarafındaki \( 4^5 \) ifadesini 2 tabanında yazalım: \( 4 = 2^2 \). Bu durumda \( 4^5 = (2^2)^5 \).
- 👉 Adım 4: Üssün üssü kuralından \( (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10} \) elde ederiz.
- 📌 Adım 5: Şimdi eşitliği yeniden düzenleyelim: \( 2^x \cdot 2^9 = 2^{10} \).
- 👉 Adım 6: Sol taraftaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplarız: \( 2^{x+9} = 2^{10} \).
- 👉 Adım 7: Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar aynı (2) olduğuna göre, üsler de birbirine eşit olmalıdır. Yani, \( x+9 = 10 \).
- 👉 Adım 8: Denklemi çözerek x değerini bulalım: \( x = 10 - 9 \).
- ✅ Sonuç: Eşitliği sağlayan x değeri \( 1 \) dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/8-sinif-matematik-uslu-sayilarda-carpma-islemi/sorular