Üslü sayılarda sıralama Konu Özeti

Üslü sayılarda sıralama yapılırken temel amacımız, verilen ifadelerin ya tabanlarını ya da üslerini (kuvvetlerini) aynı hizaya getirmektir. Tabanlar veya üsler eşitlendiğinde, sayıların büyüklük ve küçüklük ilişkisi çok daha kolay bir şekilde tespit edilebilir. Bu ders notunda LGS müfredatına uygun olarak sıralama yöntemlerini adım adım inceleyeceğiz.

1. Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerde Sıralama 📊

Tabanları eşit olan ifadelerde sıralama yapılırken tabanın 1'den büyük veya 0 ile 1 arasında (basit kesir) olup olmadığına dikkat edilir:

A) Taban 1'den Büyük İse

Tabanı 1'den büyük pozitif bir tam sayı olan üslü ifadelerde, üssü büyük olan sayı daha büyüktür.

• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^8 = 256 \)

Üsler incelendiğinde \( 3 < 5 < 8 \) olduğu için sıralama şu şekilde olur:

\[ 2^3 < 2^5 < 2^8 \]

B) Taban 0 ile 1 Arasında İse (Basit Kesirler)

Tabanı 0 ile 1 arasında olan pozitif bir rasyonel sayıda, üs büyüdükçe sayının değeri küçülür.

Örnek olarak \( \left(\frac{1}{2}\right)^1 \), \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) ve \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) ifadelerini inceleyelim:

• \( \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2} \)
• \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
• \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \)

Burada \( \frac{1}{8} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2} \) olduğundan sıralama şu şekildedir:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 < \left(\frac{1}{2}\right)^1 \]

2. Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerde Sıralama ⚖️

Üsleri (kuvvetleri) eşit olan ifadelerde sıralama yaparken pozitif üslerde tabanı büyük olan ifade daha büyüktür.

A) Pozitif Üsler

Pozitif üslerde tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.

Örnek: \( 2^5 \), \( 3^5 \) ve \( 5^5 \) sayılarını sıralayalım.

Üslerin tamamı \( 5 \) olduğu için tabanlara bakarız: \( 2 < 3 < 5 \)

\[ 2^5 < 3^5 < 5^5 \]

B) Negatif Üsler

Üsler negatif olduğunda sayılar payda kısmına geçeceği için değerler tersine döner. Önce üsler pozitifmiş gibi sıralama yapılıp ardından sıralama sembolü ters çevrilebilir.

Örnek: \( 2^{-3} \), \( 3^{-3} \) ve \( 5^{-3} \) sayılarını sıralayalım.

• \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
• \( 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} \)
• \( 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)

Payları eşit olan kesirlerde paydası büyük olan daha küçük olduğundan sıralama:

\[ 5^{-3} < 3^{-3} < 2^{-3} \]

3. Tabanları veya Üsleri Eşitleyerek Sıralama 💡

LGS sorularında genelde ne tabanlar ne de üsler doğrudan eşit verilir. Bu durumda üssün üssü kuralını yani \( (a^x)^y = a^{x \times y} \) eşitliğini kullanarak eşitleme yaparız.

Metot 1: Tabanları Eşitleme

Verilen sayıların tabanları aynı asal sayının kuvveti şeklinde yazılabiliyorsa tabanlar eşitlenir.

Örnek: \( a = 4^{15} \), \( b = 8^9 \) ve \( c = 16^7 \) sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım.

Bütün tabanlar \( 2 \) sayısının kuvvetidir:

• \( a = 4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30} \)
• \( b = 8^9 = (2^3)^9 = 2^{27} \)
• \( c = 16^7 = (2^4)^7 = 2^{28} \)

Tabanlar eşit olduğuna göre üssü küçük olan daha küçüktür (\( 27 < 28 < 30 \)):

\[ 2^{27} < 2^{28} < 2^{30} \implies b < c < a \]

Metot 2: Üsleri Eşitleme (EBOB Yöntemi)

Tabanlar aynı sayı türünden yazılamıyorsa, üslerin EBOB'u alınarak üsler eşitlenir.

Örnek: \( x = 2^{50} \), \( y = 3^{30} \) ve \( z = 5^{20} \) sayılarını sıralayalım.

Üsler olan \( 50, 30 \) ve \( 20 \) sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB):

\[ \text{EBOB}(50, 30, 20) = 10 \]

İfadelerin üslerini \( 10 \) olacak şekilde ortak paranteze dönüştürelim:

• \( x = 2^{50} = (2^5)^{10} = 32^{10} \)
• \( y = 3^{30} = (3^3)^{10} = 27^{10} \)
• \( z = 5^{20} = (5^2)^{10} = 25^{10} \)

Üsler eşitlendiği için tabanı küçük olan en küçüktür (\( 25 < 27 < 32 \)):

\[ 25^{10} < 27^{10} < 32^{10} \implies z < y < x \]

4. Negatif Taban ve İşaret İncelemesi ⚠️

İçinde negatif tabanlı üslü ifadeler bulunan sıralama sorularında önce işaret tespiti yapılmalıdır. İşaret belirlendikten sonra sayılar kendi arasında sıralanır.

Önemli Kural: Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Parantezin yeri işareti etkiler!

İfade	İşaret	Sonuç
\( (-2)^4 \)	Pozitif (+)	\( +16 \)
\( -2^4 \)	Negatif (-)	\( -16 \)
\( (-2)^3 \)	Negatif (-)	\( -8 \)

Pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan daha büyük olduğu için işaret belirlemek sıralama işlemlerinde zaman kazandırır.

5. LGS Tipi Çözümlü Örnek Sorular 📝

Soru 1:

\( K = (-3)^4 \), \( L = -3^4 \), \( M = (-2)^5 \) ve \( N = 5^{-2} \) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:

Önce her bir sayının değerini ve işaretini tespit edelim:

• \( K = (-3)^4 = +81 \) (Çift kuvvet, parantez içinde, pozitif)
• \( L = -3^4 = -81 \) (Parantez yok, negatif)
• \( M = (-2)^5 = -32 \) (Tek kuvvet, negatif)
• \( N = 5^{-2} = \frac{1}{25} \) (Pozitif rasyonel sayı)

Negatif olan sayılar: \( -81 \) ve \( -32 \). Buradan \( -81 < -32 \) olduğu için \( L < M \) olur.

Pozitif olan sayılar: \( \frac{1}{25} \) ve \( 81 \). Buradan \( \frac{1}{25} < 81 \) olduğu için \( N < K \) olur.

Tüm sayıların birleştirilmiş sıralaması:

\[ L < M < N < K \]

Soru 2:

\( a = 81^4 \), \( b = 27^6 \) ve \( c = 9^8 \) ifadelerini küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:

Tabanlar \( 3 \)'ün kuvvetleri şeklinde yazılabilir:

• \( a = 81^4 = (3^4)^4 = 3^{16} \)
• \( b = 27^6 = (3^3)^6 = 3^{18} \)
• \( c = 9^8 = (3^2)^8 = 3^{16} \)

Elde edilen değerler incelendiğinde \( a = 3^{16} \) ve \( c = 3^{16} \) birbiri ile eşittir. \( b = 3^{18} \) ise daha büyüktür.

Sıralama şu şekilde oluşur:

\[ a = c < b \]