Gerçek sayıların üslü gösterimle çarpma ve bölme işlemi Konu Özeti

Gerçek sayıların üslü gösterimi, çok büyük ve çok küçük sayıların matematiksel olarak daha sade ve kullanışlı ifade edilmesini sağlar. Tabanı sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve üssü bir tam sayı olan üslü ifadelerle çarpma ve bölme işlemleri yapılırken belirli cebirsel kurallar uygulanır.

📌 Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi

Üslü ifadelerle çarpma işlemi yapılırken iki temel durum incelenir: Tabanların aynı olması veya üslerin aynı olması.

1. Tabanları Aynı Olan İfadelerin Çarpımı

Tabanları aynı olan iki üslü ifade çarpılırken ortak taban aynen yazılır, üsler toplanarak ortak tabana üs olarak verilir.

\(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ve \(m, n \in \mathbb{Z}\) olmak üzere: \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

• \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7\)
• \(5^{-2} \cdot 5^6 = 5^{-2+6} = 5^4\)
• \(x^5 \cdot x^{-8} \cdot x = x^{5+(-8)+1} = x^{-2}\)

2. Üsleri Aynı Olan İfadelerin Çarpımı

Üsleri aynı olan iki üslü ifade çarpılırken tabanlar çarpılır ve ortak üs sonucun üssü olarak yazılır.

\(a, b \in \mathbb{R}\) ve \(n \in \mathbb{Z}\) olmak üzere: \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

• \(2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5\)
• \(5^3 \cdot 4^3 = (5 \cdot 4)^3 = 20^3\)
• \((-3)^4 \cdot 2^4 = (-3 \cdot 2)^4 = (-6)^4 = 6^4\)

📌 Üslü İfadelerde Bölme İşlemi

Üslü ifadelerle bölme işleminde de çarpma işleminde olduğu gibi tabanların veya üslerin eşitliği dikkate alınır.

1. Tabanları Aynı Olan İfadelerin Bölümü

Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

\(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ve \(m, n \in \mathbb{Z}\) olmak üzere: \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]

• \(\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5\)
• \(\frac{7^4}{7^{-3}} = 7^{4 - (-3)} = 7^{4+3} = 7^7\)
• \(\frac{2^{-5}}{2^3} = 2^{-5-3} = 2^{-8}\)

2. Üsleri Aynı Olan İfadelerin Bölümü

Üsleri aynı olan iki üslü ifade bölünürken pay payda kısmına bölünür ve elde edilen bölüme ortak üs yazılır.

\(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ve \(n \in \mathbb{Z}\) olmak üzere: \[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \]

• \(\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 = 16\)
• \(\frac{12^3}{4^3} = \left(\frac{12}{4}\right)^3 = 3^3 = 27\)

⚡ İşlem Kolaylığı Sağlayan Kurallar Tablosu

İşlem Türü	Kural	Örnek
Aynı Tabanlı Çarpma	\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)	\(3^2 \cdot 3^5 = 3^7\)
Aynı Üslü Çarpma	\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)	\(2^3 \cdot 5^3 = 10^3\)
Aynı Tabanlı Bölme	\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)	\(\frac{5^8}{5^3} = 5^5\)
Aynı Üslü Bölme	\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)	\(\frac{8^2}{4^2} = 2^2\)
Üssün Üssü	\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)	\((2^3)^4 = 2^{12}\)

✏️ Çözümlü Uygulama Soruları

Soru 1:

\[ \frac{4^5 \cdot 8^2}{16^3} \]

işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Verilen ifadelerin tümü 2'nin kuvveti biçiminde yazılabilir:

• \(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}\)
• \(8^2 = (2^3)^2 = 2^6\)
• \(16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}\)

Bu değerler kesirde yerine yerleştirilirse:

\[ \frac{2^{10} \cdot 2^6}{2^{12}} = \frac{2^{10+6}}{2^{12}} = \frac{2^{16}}{2^{12}} \]

Bölme kuralı gereğince üsler çıkarılır:

\[ 2^{16-12} = 2^4 = 16 \]

Soru 2:

\[ \frac{15^6 \cdot 3^{-2}}{5^6} \]

işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

İlk olarak aynı üsse sahip terimler bir araya getirilebilir:

\[ \frac{15^6}{5^6} \cdot 3^{-2} = \left(\frac{15}{5}\right)^6 \cdot 3^{-2} \]

İfade sadeleştirilerek ortak tabanda çarpma uygulanır:

\[ 3^6 \cdot 3^{-2} = 3^{6 + (-2)} = 3^4 = 81 \]