💡 9. Sınıf Matematik: Gerçek sayıların üslü gösterimle çarpma ve bölme işlemi Çözümlü Sorular

📌 Kural: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: \( a^n \times a^m = a^{n+m} \)

• 1. Adım: Tabanların hepsinin \( 2 \) olduğunu kontrol edelim. Tabanlar eşit olduğu için üsleri toplayabiliriz.
• 2. Adım: Üsleri toplayalım: \( 5 + 3 + (-4) = 8 - 4 = 4 \)
• 3. Adım: Elde edilen üssü tabanın üzerine yazalım: \( 2^4 \)

✅ Sonuç: \( 2^4 = 16 \)

📌 Kural: Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme işlemi yapılırken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)

• 1. Adım (Pay İşlemi): Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Üsleri toplarız: \( 3^{7 + (-2)} = 3^5 \)
• 2. Adım (Bölme İşlemi): Şimdi payı paydaya bölelim: \( \frac{3^5}{3^3} \)
• 3. Adım: Üsleri çıkaralım: \( 3^{5 - 3} = 3^2 \)

✅ Sonuç: \( 3^2 = 9 \)

💡 İpucu: Üsleri aynı olan ifadelerin çarpımında tabanlar çarpılır: \( a^n \times b^n = (a \times b)^n \)

• 1. Adım: Pay kısmındaki ifadelerin üsleri aynı (\( 5 \)) olduğundan tabanları çarpabiliriz:
  \( 6^5 \times 4^5 = (6 \times 4)^5 = 24^5 \)
• 2. Adım: Elde edilen ifadeyi paydaya oranlayalım:
  \( \frac{24^5}{12^4} \)
• 3. Adım: Paydaki \( 24^5 \) ifadesini \( (2 \times 12)^5 = 2^5 \times 12^5 \) olarak açalım:
• 4. Adım: İşlemi sadeleştirelim:
  \( \frac{2^5 \times 12^5}{12^4} = 2^5 \times 12^{5-4} = 2^5 \times 12^1 \)
• 5. Adım: Değerleri hesaplayalım: \( 32 \times 12 = 384 \)

✅ Sonuç: \( 384 \)

📌 Yöntem: Tabanı asal çarpanlarına ayırarak verilen ifadelere dönüştürürüz.

• 1. Adım: \( 45 \) sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
  \( 45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5 \)
• 2. Adım: İfadede \( 45 \) yerine çarpanlarını yazalım:
  \( 45^x = (3^2 \times 5)^x \)
• 3. Adım: Üssü parantez içindeki çarpanlara dağıtalım:
  \( (3^2)^x \times 5^x = (3^x)^2 \times 5^x \)
• 4. Adım: Verilen değişkenleri (\( 3^x = b \) ve \( 5^x = a \)) yerine koyalım:
  \( b^2 \times a = a \cdot b^2 \)

✅ Sonuç: \( a \cdot b^2 \)

⚠️ Dikkat: Üslü ifadelerde toplama yaparken ortak terim sayısı çarpım olarak yazılır!

• 1. Adım (Pay İşlemi): 4 tane \( 8^4 \) toplanmaktadır:
  \( 8^4 + 8^4 + 8^4 + 8^4 = 4 \times 8^4 \)
• 2. Adım (Payda İşlemi): 2 tane \( 4^5 \) toplanmaktadır:
  \( 4^5 + 4^5 = 2 \times 4^5 \)
• 3. Adım (Tabanları 2 Yapma): Bütün sayıları \( 2 \)'nin kuvveti şeklinde yazalım:
  • \( 4 \times 8^4 = 2^2 \times (2^3)^4 = 2^2 \times 2^{12} = 2^{14} \)
  • \( 2 \times 4^5 = 2^1 \times (2^2)^5 = 2^1 \times 2^{10} = 2^{11} \)
• 4. Adım (Bölme İşlemi): Payı paydaya bölelim:
  \( \frac{2^{14}}{2^{11}} = 2^{14 - 11} = 2^3 \)

✅ Sonuç: \( 2^3 = 8 \)

📌 Strateji: Denklemdeki tüm tabanları ortak olan \( 3 \) tabanında eşitleyelim.

• 1. Adım: Tabanları \( 3 \)'ün kuvveti olarak ifade edelim:
  • \( 27^{x+1} = (3^3)^{x+1} = 3^{3x + 3} \)
  • \( 9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x - 2} \)
  • \( 81 = 3^4 \)
• 2. Adım: Bölme kuralını sol tarafa uygulayalım:
  \( \frac{3^{3x + 3}}{3^{2x - 2}} = 3^{(3x + 3) - (2x - 2)} = 3^{3x + 3 - 2x + 2} = 3^{x + 5} \)
• 3. Adım: Tabanları aynı olan denklemde üsleri birbirine eşitleyelim:
  \( 3^{x + 5} = 3^4 \implies x + 5 = 4 \)
• 4. Adım: Denklemi çözelim:
  \( x = 4 - 5 = -1 \)

✅ Sonuç: \( x = -1 \)

👉 Adım Adım Çözüm:

• 1. Adım: Yüklenen toplam fotoğraf sayısını bulalım:
  Fotoğraf Sayısı = Albüm Sayısı \( \times \) Her Albümdeki Fotoğraf Sayısı
  Fotoğraf Sayısı = \( 2^4 \times 2^{10} = 2^{4 + 10} = 2^{14} \) adet
• 2. Adım: Toplam veri boyutunu hesaplayalım:
  Toplam Boyut = Toplam Fotoğraf Sayısı \( \times \) 1 Fotoğrafın Boyutu
  Toplam Boyut = \( 2^{14} \times 2^6 \) MB
• 3. Adım: Üslü çarpma kuralını uygulayalım:
  \( 2^{14} \times 2^6 = 2^{14 + 6} = 2^{20} \) MB

✅ Sonuç: Yüklenen verilerin toplam boyutu \( 2^{20} \) MB'dır.

💡 Strateji: Dikdörtgenin alanını bir kare parçanın alanına bölmeliyiz.

• 1. Adım: Dikdörtgenin alanını bulalım:
  Alan = Kısa Kenar \( \times \) Uzun Kenar = \( 16^3 \times 8^4 \)
• 2. Adım: Bir kare parçanın alanını bulalım:
  Kare Alanı = Kenar \( \times \) Kenar = \( 4^3 \times 4^3 = 4^{3+3} = 4^6 \)
• 3. Adım: Bütün üslü ifadeleri \( 2 \) tabanına dönüştürelim:
  • Dikdörtgenin Alanı = \( (2^4)^3 \times (2^3)^4 = 2^{12} \times 2^{12} = 2^{24} \) cm\(^2\)
  • Bir Karenin Alanı = \( (2^2)^6 = 2^{12} \) cm\(^2\)
• 4. Adım: Parça sayısını bulmak için alanı bölelim:
  Parça Sayısı = \( \frac{2^{24}}{2^{12}} = 2^{24 - 12} = 2^{12} \)

✅ Sonuç: Toplamda \( 2^{12} = 4096 \) adet kare parça elde edilir.