Köklü gösterimlerde dört işlem Konu Özeti

Köklü ifadelerle yapılan dört işlem, üslü ifadelerdeki işlem özellikleriyle yakından ilişkilidir. Bu işlemler yapılırken kök derecelerinin ve kök içindeki sayıların durumuna dikkat edilmesi gerekir. MEB 9. sınıf müfredatına uygun olarak köklü gösterimlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme kurallarını inceleyelim.

Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕

Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için iki temel şartın aynı anda sağlanması gerekir: kök dereceleri aynı olmalı ve kök içindeki sayılar birbirine eşit olmalıdır. Bu şartlar sağlanıyorsa, katsayılar arasında işlem yapılır.

Genel Kural

Kök dereceleri ve içleri aynı olan ifadelerde toplama ve çıkarma şu şekilde yapılır:

\[ a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a + b - c)\sqrt[n]{x} \]

Örnekler

• \( 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = (3 + 4)\sqrt{5} = 7\sqrt{5} \)
• \( 8\sqrt[3]{2} - 5\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = (8 - 5 + 1)\sqrt[3]{2} = 4\sqrt[3]{2} \)
• \( \sqrt{12} + \sqrt{27} \) işlemi için önce kök içleri eşitlenir:
  \( \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Önemli Not: Kök içleri veya dereceleri farklı olan ifadeler, kök içleri eşitlenemediği sürece toplanıp çıkarılamaz. Örneğin \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \) ifadesi bu şekilde kalır.

Köklü İfadelerde Çarpma İşlemi ✖️

Köklü ifadelerde çarpma işlemi yapabilmek için kök derecelerinin aynı olması yeterlidir. Dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılırken, kök içindeki sayılar çarpılarak ortak bir kök içine yazılır.

Genel Kural

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]

Eğer ifadelerin başında katsayı varsa, katsayılar kendi arasında, köklü ifadeler kendi arasında çarpılır:

\[ x\sqrt[n]{a} \cdot y\sqrt[n]{b} = (x \cdot y)\sqrt[n]{a \cdot b} \]

Örnekler

• \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)
• \( 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{18} = 10\sqrt{9 \cdot 2} = 10 \cdot 3\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \)
• \( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Köklü İfadelerde Bölme İşlemi ➗

Köklü ifadelerde bölme işlemi yapabilmek için de kök derecelerinin aynı olması gerekir. Dereceleri aynı olan ifadeler bölünürken, payın kök içindeki sayısı paydanın kök içindeki sayısına bölünür ve ortak kök içine yazılır.

Genel Kural

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

Katsayılı bölme işlemlerinde ise katsayılar kendi arasında bölünür:

\[ \frac{x\sqrt[n]{a}}{y\sqrt[n]{b}} = \frac{x}{y} \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

Örnekler

• \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
• \( \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \)
• \( \frac{10\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = 5\sqrt{\frac{12}{3}} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10 \)

Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik) 💡

Bir rasyonel ifadenin paydasında köklü bir sayı varsa, paydayı kökten kurtarma işlemine "paydayı rasyonel yapma" denir. Bunun için pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır.

1. Durum: Paydada tek terimli bir kök varsa:

\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{b} \]

Örnek: \( \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)

2. Durum: Paydada iki terimli bir ifade varsa (\( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) veya \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)):

Bu durumda iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılır. \( (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \) ifadesinin eşleniği \( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) \) ifadesidir.

• \( (\sqrt{a} - \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b \)

Örnek

\( \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \) işleminin sonucunu bulalım:

Payı ve paydayı \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) ile çarparız:

\[ \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \]