Köklü ifadelerde dört işlem Konu Özeti

Köklü ifadelerle işlem yapabilmek için öncelikle köklü sayıların üslü sayı biçiminde yazılabilmesi ve kök dışına çıkarma kurallarının kavranmış olması gerekir. Köklü ifadelerde dört işlem yapılırken kök derecelerinin ve kök içindeki sayıların durumuna göre belirli kurallar uygulanır.

1. Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕

Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için iki temel şartın aynı anda sağlanması gerekir: Kök dereceleri aynı olmalı ve kök içindeki sayılar aynı olmalı.

Kural: \( a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a + b - c)\sqrt[n]{x} \)

• Kök içleri ve dereceleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.
• Ortak köklü ifade, sonucun yanına çarpan olarak yazılır.
• Eğer kök içindeki sayılar aynı değilse, sayılar kök dışına çıkarılarak eşitlenmeye çalışılır. Eşitlenemiyorsa işlem o haliyle kalır.

Örnek İşlemler:

\( 3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5} = (3 + 4 - 1)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)
\( \sqrt{12} + \sqrt{27} \) işlemini yapalım:
\( \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

2. Köklü İfadelerde Çarpma İşlemi ✖️

Köklü ifadelerde çarpma işlemi yapılabilmesi için kök derecelerinin aynı olması yeterlidir. Kök içindeki sayıların aynı olması zorunlu değildir.

Kural: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)

Eğer köklü ifadelerin başında katsayı varsa, katsayılar kendi aralarında, kök içindeki sayılar da kendi aralarında aynı kök derecesi altında çarpılır:

\[ x\sqrt[n]{a} \cdot y\sqrt[n]{b} = (x \cdot y)\sqrt[n]{a \cdot b} \]

Örnek İşlemler:

\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \)
\( 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} = (2 \cdot 5)\sqrt{3 \cdot 2} = 10\sqrt{6} \)

3. Köklü İfadelerde Bölme İşlemi ➗

Bölme işlemi yapılabilmesi için de çarpma işleminde olduğu gibi kök derecelerinin aynı olması gerekir.

Kural: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \) (Burada \( b \neq 0 \) olmalıdır.)

Katsayılı bölme işlemlerinde katsayılar bölünür, köklü kısımlar ise ortak kök içerisinde bölünerek yazılır:

\[ \frac{x\sqrt[n]{a}}{y\sqrt[n]{b}} = \frac{x}{y} \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

Örnek İşlemler:

\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \)
\( \frac{12\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = 4\sqrt{3} \)

4. Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik Kavramı) 💡

Paydasında köklü ifade bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir. Bunun için kesrin payı ve paydası, paydadaki ifadenin eşleniği ile çarpılır.

İfade	Eşleniği	Çarpım Sonucu
\( \sqrt{a} \)	\( \sqrt{a} \)	\( a \)
\( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)	\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	\( a - b \)
\( a + \sqrt{b} \)	\( a - \sqrt{b} \)	\( a^2 - b \)

Örnek Uygulama:

\( \frac{6}{\sqrt{3}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapalım:
\( \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)

\( \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \) ifadesini eşleniği olan \( \sqrt{5} + 2 \) ile genişletelim:
\( \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2) \cdot (\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2 \)