📝 9. Sınıf Matematik: Köklü ifadelerde genişletme ve dört işlem Konu Özeti
Köklü ifadelerle işlem yaparken kök derecelerinin durumu ve kök içindeki sayıların özellikleri büyük önem taşır. Bu ders notunda köklü sayıların genişletilmesi, sadeleştirilmesi ve dört işlem kuralları MEB müfredatına uygun olarak ele alınmıştır.
Köklü İfadelerde Genişletme ve Sadeleştirme 📐
Bir köklü ifadenin hem kök derecesi hem de kök içindeki sayının üssü, aynı pozitif tam sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem ifadenin değerini değiştirmez.
Kural: \( n, m, k \) pozitif tam sayılar olmak üzere;
Genişletme: \[ \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot k]{x^{m \cdot k}} \] Sadeleştirme: \[ \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[\frac{n}{k}]{x^{\frac{m}{k}}} \]
Örnek: \( \sqrt[3]{5^2} \) ifadesini 6. dereceden genişletelim: \[ \sqrt[3 \cdot 2]{5^{2 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5^4} = \sqrt[6]{625} \]
Köklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕
Köklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için iki temel şartın aynı anda sağlanması gerekir:
- Kök dereceleri birbirine eşit olmalıdır.
- Kök içindeki sayılar birbirine eşit olmalıdır.
Kural: \[ a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a + b - c)\sqrt[n]{x} \]
Örnek: \( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \) işleminin sonucu: \[ (5 + 2 - 1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]
Köklü İfadelerde Çarpma İşlemi ✖️
Köklü ifadelerde çarpma işlemi yapabilmek için kök derecelerinin eşit olması gerekir. Dereceler eşit değilse, yukarıda öğrendiğimiz genişletme yöntemi ile dereceler eşitlenir.
Kural: Dereceleri aynı olan köklü ifadeler ortak kök içinde çarpılır: \[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]
Örnek: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \)
Köklü İfadelerde Bölme İşlemi ➗
Bölme işlemi için de kök derecelerinin eşit olması şarttır. Dereceler eşitlendikten sonra bölme işlemi tek bir kök içerisinde gerçekleştirilir.
Kural: \[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \] (Burada \( b \neq 0 \))
Örnek: \[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5 \]
Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik) 📝
Paydasında köklü ifade bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir. Bunun için kesir, paydanın eşleniği ile genişletilir.
| İfade | Eşleniği | Çarpım Sonucu |
|---|---|---|
| \( \sqrt{a} \) | \( \sqrt{a} \) | \( a \) |
| \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \) | \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) | \( a - b \) |
| \( a - \sqrt{b} \) | \( a + \sqrt{b} \) | \( a^2 - b \) |
Örnek: \( \frac{10}{\sqrt{5}} \) ifadesinin paydasını rasyonel yapalım: \[ \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]
Örnek: \( \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \) ifadesini eşleniği olan \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) ile genişletelim: \[ \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2} \]