Köklü ifadelerin genişletilmesi ve köklü ifadelerle dört işlem Konu Özeti

Köklü ifadelerle işlem yaparken, kök derecelerini eşitlemek veya kök içindeki sayıları belirli kurallara göre düzenlemek temel esastır. 9. sınıf matematik müfredatına uygun olarak, bu işlemlerin kurallarını ve dikkat edilmesi gereken noktaları aşağıda bulabilirsiniz.

Köklü İfadelerin Derecesini Genişletme ve Sadeleştirme 📐

Bir köklü ifadenin hem kök derecesi hem de kök içindeki sayının üssü, aynı pozitif tam sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem ifadenin değerini değiştirmez.

• Genişletme: \( n, m, k \) pozitif tam sayılar olmak üzere; \[ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} \]
• Sadeleştirme: \( k \) sayısı hem \( n \) hem de \( m \) sayılarını tam bölüyorsa; \[ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \div k]{a^{m \div k}} \]

Not: Kök dereceleri farklı olan ifadelerle çarpma veya bölme işlemi yapabilmek için önce yukarıdaki genişletme yöntemi kullanılarak kök dereceleri eşitlenmelidir.

Köklü İfadelerle Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕

Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için iki temel şartın aynı anda sağlanması gerekir: Kök dereceleri aynı olmalı ve kök içindeki sayılar aynı olmalı. Bu şartlar sağlanıyorsa, katsayılar arasında işlem yapılır ve ortak kök aynen yazılır.

\[ a\sqrt[n]{x} + b\sqrt[n]{x} - c\sqrt[n]{x} = (a + b - c)\sqrt[n]{x} \]

Örnek olarak; \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \) işleminde kök içleri ve dereceleri aynı olduğu için katsayılar toplanır: \( (3 + 5 - 4)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Köklü İfadelerle Çarpma İşlemi ✖️

Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılırken, kök içindeki sayılar aynı kök içinde çarpılır. Eğer katsayılar varsa, katsayılar kendi aralarında, köklü kısımlar kendi aralarında çarpılır.

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \] \[ x\sqrt[n]{a} \cdot y\sqrt[n]{b} = (x \cdot y)\sqrt[n]{a \cdot b} \]

Kök dereceleri farklı ise önce genişletme yapılarak dereceler eşitlenir, ardından çarpma işlemi gerçekleştirilir.

Köklü İfadelerle Bölme İşlemi ➗

Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler bölünürken, kök içindeki sayılar aynı kök içinde birbirine bölünür. Paydadaki köklü ifadenin sıfırdan farklı olması zorunludur.

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

Paydayı Rasyonel Yapma

Paydasında köklü ifade bulunan bir kesrin paydasını kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma denir. Bunun için kesrin payı ve paydası, paydayı kökten kurtaracak olan "eşlenik" ifadesi ile çarpılır.

İfade	Eşleniği	Çarpım Sonucu
\( \sqrt{a} \)	\( \sqrt{a} \)	\( a \)
\( \sqrt{a} - \sqrt{b} \)	\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \)	\( a - b \)
\( \sqrt{a} + b \)	\( \sqrt{a} - b \)	\( a - b^2 \)