Kümelerde ortak özellik ve tümleme Konu Özeti

Kümelerin ifade edilmesinde kullanılan yöntemlerden biri olan ortak özellik yöntemi, elemanları tek tek yazmak yerine onları temsil eden ortak bir kuralın belirlenmesidir. Tümleme ise evrensel küme içerisinde bir kümeye ait olmayan elemanların oluşturduğu bütünü ifade eder.

1. Kümelerde Ortak Özellik Yöntemi 📝

Bir kümenin elemanlarının sahip olduğu ortak özellikleri belirterek yapılan gösterim şeklidir. Bu yöntemde küme parantezi içinde bir değişken (genellikle \( x \)) ve bu değişkenin sağlaması gereken şartlar yazılır.

Genel Gösterim: \( A = \{x \mid x \text{ 'in sahip olduğu özellikler}\} \) veya \( A = \{x : x \text{ 'in sahip olduğu özellikler}\} \)

Buradaki \( \mid \) veya \( : \) sembolü "öyle ki" anlamına gelir. Ortak özellik yöntemiyle yazılmış bir kümede, değişkenin hangi sayı kümesine ait olduğu (Doğal sayı, Tam sayı vb.) mutlaka belirtilmelidir.

Örnekler

• \( A = \{x \mid x < 5, x \in \mathbb{N}\} \) kümesi, 5'ten küçük doğal sayıları ifade eder. Liste yöntemiyle: \( A = \{0, 1, 2, 3, 4\} \)
• \( B = \{x \mid 10 < x < 20, x = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \) kümesi, 10 ile 20 arasındaki çift tam sayıları ifade eder. Liste yöntemiyle: \( B = \{12, 14, 16, 18\} \)
• \( C = \{x \mid x, \text{ haftanın P harfi ile başlayan günleri}\} \) kümesi. Liste yöntemiyle: \( C = \{\text{Pazartesi, Perşembe, Pazar}\} \)

2. Evrensel Küme ve Tümleme İşlemi 🌐

Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan, boş olmayan en geniş kümeye Evrensel Küme denir ve genellikle \( E \) harfi ile gösterilir. Bir \( A \) kümesinin dışındaki, yani evrensel kümede olup \( A \) kümesinde olmayan elemanların kümesine \( A \) kümesinin tümleyeni denir.

\( A \) kümesinin tümleyeni \( A' \) veya \( \bar{A} \) sembolü ile gösterilir.

Tümleme İşleminin Özellikleri

Bir \( A \) kümesi ve \( E \) evrensel kümesi için aşağıdaki kurallar geçerlidir:

Kural Adı	Matematiksel İfadesi
Tümleyenin Tümleyeni	\( (A')' = A \)
Küme ile Tümleyeninin Birleşimi	\( A \cup A' = E \)
Küme ile Tümleyeninin Kesişimi	\( A \cap A' = \emptyset \)
Evrensel Kümenin Tümleyeni	\( E' = \emptyset \)
Boş Kümenin Tümleyeni	\( \emptyset' = E \)

Ayrıca, bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı, evrensel kümenin eleman sayısını verir:

\[ s(A) + s(A') = s(E) \]

3. De Morgan Kuralları ⚖️

Kümelerde birleşim ve kesişim işlemlerinin tümleyenleri alınırken De Morgan kuralları uygulanır. Bu kurallar mantık konusundaki "veya" ile "ve" bağlaçları arasındaki ilişkiye benzer.

• Birleşimin tümleyeni: \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
• Kesişimin tümleyeni: \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)

Örnek Soru

\( E \) evrensel küme olmak üzere;

\( s(A) + s(B') = 18 \)

\( s(A') + s(B) = 12 \)

olduğuna göre, \( s(E) \) kaçtır?

Çözüm: Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplarsak;

\( s(A) + s(A') + s(B) + s(B') = 18 + 12 \)

\( s(E) + s(E) = 30 \)

\( 2 \times s(E) = 30 \)

\( s(E) = 15 \) bulunur.

4. Kümelerde Fark İşlemi ile Tümleme İlişkisi ➖

\( A \) ve \( B \) iki küme olsun. \( A \) kümesinde olup \( B \) kümesinde olmayan elemanların kümesine \( A \) fark \( B \) kümesi denir ve \( A \setminus B \) veya \( A - B \) ile gösterilir.

Tümleme cinsinden ifadesi şöyledir:

\[ A \setminus B = A \cap B' \]

Bu kurala göre bir kümenin bir diğerinden farkı, birinci küme ile ikincinin tümleyeninin kesişimine eşittir.