💡 9. Sınıf Matematik: Kümelerde ortak özellik ve tümleme Çözümlü Sorular

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: İlk olarak evrensel küme olan \( E \) kümesini liste yöntemiyle yazalım. \( E \) kümesi 10'dan küçük doğal sayılardan oluşmaktadır: \( E = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
• Adım 2: \( A \) kümesi, \( E \) kümesindeki çift sayılardan oluşmaktadır. Buna göre \( A = \{0, 2, 4, 6, 8\} \) olur.
• Adım 3: Bir kümenin tümleyeni (\( A' \)), evrensel kümede olup \( A \) kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümedir.
• Adım 4: \( A' = E - A \) işleminden \( A' = \{1, 3, 5, 7, 9\} \) olarak bulunur. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Verilen \( A \) kümesini liste yöntemiyle ifade edelim: \( A = \{2, 3, 4, 5, 6\} \).
• Adım 2: Kümelerde tümleyenin tümleyeni kendisine eşittir, yani \((A')' = A\) bağıntısı geçerlidir.
• Adım 3: Buna göre \((A')' = \{2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesidir.
• Adım 4: Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle \( (A')' = \{x \mid 2 \le x < 7, x \in \mathbb{Z}\} \) şeklinde yazabiliriz.
• Adım 5: Kümenin eleman sayısı \( s((A')') = 5 \) olarak bulunur. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Önce \( A \cup B \) kümesini bulalım. İki kümenin birleşimi ortak elemanlar bir kez yazılmak suretiyle oluşturulur: \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \).
• Adım 2: Evrensel kümemiz \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) şeklindedir.
• Adım 3: \( (A \cup B)' \) kümesi, evrensel kümede olup \( A \cup B \) kümesinde yer almayan elemanlardır.
• Adım 4: \( (A \cup B)' = \{8, 9, 10\} \) olarak bulunur. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Karesi 50'den küçük olan tam sayıları belirleyelim. Negatif ve pozitif tam sayıları dikkate almalıyız çünkü \( x \in \mathbb{Z} \).
• Adım 2: \( E = \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) kümesidir (\( 7^2 = 49 < 50 \)).
• Adım 3: \( A \) kümesi bu arklı asal sayılardan oluşur: \( A = \{2, 3, 5, 7\} \). (Asal sayılar 1'den büyük pozitif tam sayılardır).
• Adım 4: \( A' \) kümesi, \( E \) kümesinde olup \( A \) kümesinde bulunmayan elemanlardır: \( A' = \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 4, 6\} \).
• Adım 5: Eleman sayısı \( s(A') = 11 \) olarak hesaplanır. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Kümeleri tanımlayalım. \( K = \{x \mid x = 3k, k \in \mathbb{Z}\} \) ve \( Ç = \{x \mid x \text{ çifttir}\} \) olsun.
• Adım 2: Engellenen durum, "3'ün katı olmayan VEYA çift olmayan" yani mantıksal olarak \( K' \cup Ç' \) kümesidir.
• Adım 3: De Morgan kuralına göre \( K' \cup Ç' = (K \cap Ç)' \) eşittir.
• Adım 4: \( K \cap Ç \) kümesi, hem 3'ün katı hem de çift olan yani 6'nın katı olan sayılardır.
• Adım 5: Sonuç olarak aranan küme ortak özellik ile \( \{x \mid x, 6 \text{nın katı değildir ve } x \in E\} \) veya \( (K \cap Ç)' \) olarak ifade edilir. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Futbol veya basketbol takımlarından en az birine katılan öğrencilerin kümesi iki kümenin birleşimi olan \( F \cup B \) ile ifade edilir.
• Adım 2: Hiçbir spor dalına katılmayan öğrenciler, bu birleşim kümesinin dışındakiler yani tümleyenidir.
• Adım 3: Dolayısıyla aradığımız grup \( (F \cup B)' \) kümesidir.
• Adım 4: Bu ifade, "Futbol veya basketbol oynamayan öğrenciler" anlamına gelir. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Evrensel küme \( E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} \) şeklindedir.
• Adım 2: Asal sayı kümesi \( A = \{2, 3, 5, 7, 11\} \) olur. Bu durumda \( A' \) kümesi evrensel kümeden \( A \) çıkarılarak bulunur: \( A' = \{1, 4, 6, 8, 9, 10, 12\} \).
• Adım 3: Tek sayı kümesi \( T = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \) olarak yazılır.
• Adım 4: İstenen \( A' \cap T \) kümesi, \( A' \) ve \( T \) kümelerinin ortak elemanlarıdır.
• Adım 5: Kesişim kümesi \( \{1, 9\} \) olarak elde edilir. ✅

💡 Çözüm Adımları:

• Adım 1: Evrensel kümenin tümleyeni, evrensel kümede olmayan elemanları ifade eder. Bu durumda \( E' = \emptyset \) (boş küme) olur.
• Adım 2: Boş kümenin tümleyeni ise evrensel kümedir, yani \( \emptyset' = E \).
• Adım 3: Verilen ifademiz \( E' \cup \emptyset \) idi. \( E' \) yerine \( \emptyset \) yazalım.
• Adım 4: \( \emptyset \cup \emptyset = \emptyset \) sonucuna ulaşılır. ✅