Mantık Konu Özeti

Mantık: Önermeler ve Bileşik Önermeler

Mantık, doğru düşünmenin ve akıl yürütmenin kurallarını inceleyen bir bilim dalıdır. Matematiksel mantıkta temel kavram "önerme"dir.

Önerme

• Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
• Bir önermenin doğru ya da yanlış olması durumuna doğruluk değeri denir.
• Doğru önermenin doğruluk değeri \(1\) (veya D), yanlış önermenin doğruluk değeri \(0\) (veya Y) ile gösterilir.
• Bir önerme aynı anda hem doğru hem de yanlış olamaz.
• Önermeler genellikle \(p, q, r, \dots\) gibi küçük harflerle gösterilir.
• Soru, emir, istek cümleleri önerme değildir.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

• Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, o önermenin değili (olumsuzu) denir.
• \(p\) önermesinin değili \(p'\) veya \( \neg p \) ile gösterilir.
• Bir önermenin değilinin değili kendisidir: \( (p')' \equiv p \).

Örnek:

• \(p\): "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Doğruluk değeri: \(1\))
• \(p'\): "Türkiye'nin başkenti Ankara değildir." (Doğruluk değeri: \(0\))

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(p'\)
\(1\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)

Bileşik Önermeler

İki veya daha fazla önermenin mantık bağlaçları ile birbirine bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir.

1. Ve Bağlacı (Konjonksiyon)

• İki önermenin "ve" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye konjonksiyon denir ve \(p \land q\) şeklinde gösterilir.
• \(p \land q\) bileşik önermesi, her iki önerme de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(q\)	\(p \land q\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)

2. Veya Bağlacı (Dizjonksiyon)

• İki önermenin "veya" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye dizjonksiyon denir ve \(p \lor q\) şeklinde gösterilir.
• \(p \lor q\) bileşik önermesi, her iki önerme de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(q\)	\(p \lor q\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)

3. Ya da Bağlacı (Özel Veya)

• İki önermenin "ya da" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye özel veya denir ve \(p \underline{\lor} q\) şeklinde gösterilir.
• \(p \underline{\lor} q\) bileşik önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır.

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(q\)	\(p \underline{\lor} q\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)

4. İse Bağlacı (Koşullu Önerme)

• İki önermenin "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye koşullu önerme denir ve \(p \implies q\) şeklinde gösterilir.
• \(p \implies q\) bileşik önermesi, ilk önerme doğru, ikinci önerme yanlış iken yanlış (\(1 \implies 0 \equiv 0\)), diğer durumlarda doğrudur.
• \(p \implies q \equiv p' \lor q\) denkliği önemlidir.

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(q\)	\(p \implies q\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)

5. Ancak ve Ancak Bağlacı (İki Yönlü Koşullu Önerme)

• İki önermenin "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve \(p \iff q\) şeklinde gösterilir.
• \(p \iff q\) bileşik önermesi, önermelerin doğruluk değerleri aynı iken doğru, farklı iken yanlıştır.
• \(p \iff q \equiv (p \implies q) \land (q \implies p)\) denkliği önemlidir.

Doğruluk Tablosu:

\(p\)	\(q\)	\(p \iff q\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)

Denk Önermeler

• Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk önermeler denir ve \(p \equiv q\) şeklinde gösterilir.

Örnek: \(p \implies q \equiv p' \lor q\).

Bu iki bileşik önermenin doğruluk tabloları aynı sonuçları verdiğinden birbirine denktirler.

Totoloji ve Çelişki

• Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima doğru (doğruluk değeri \(1\)) oluyorsa bu bileşik önermeye totoloji denir.
• Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm doğruluk değerleri için daima yanlış (doğruluk değeri \(0\)) oluyorsa bu bileşik önermeye çelişki denir.

Örnek:

• \(p \lor p'\) bir totolojidir. (Her zaman \(1\))
• \(p \land p'\) bir çelişkidir. (Her zaman \(0\))

De Morgan Kuralları

• Bileşik önermelerin değilini alırken kullanılan önemli kurallardır:
• \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \)
• \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \)