💡 9. Sınıf Matematik: Mantık Çözümlü Sorular

💡 Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulurken, verilen önermelerin doğruluk değerlerini yerine koyarak işlemleri yaparız.

• 👉 a) \(p \land q\)
  • \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) olduğundan, \(1 \land 0\) işlemini yaparız.
  • "Ve" (\(\land\)) bağlacında, her iki önerme de doğru (1) ise sonuç doğru (1), aksi takdirde sonuç yanlış (0) olur.
  • \(1 \land 0 \equiv 0\)
    ✅ Sonuç: \(0\)
• 👉 b) \(p \lor q\)
  • \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) olduğundan, \(1 \lor 0\) işlemini yaparız.
  • "Veya" (\(\lor\)) bağlacında, her iki önerme de yanlış (0) ise sonuç yanlış (0), aksi takdirde sonuç doğru (1) olur.
  • \(1 \lor 0 \equiv 1\)
    ✅ Sonuç: \(1\)
• 👉 c) \(q' \lor r\)
  • Önce \(q'\) (q'nun değili) ifadesini buluruz. \(q \equiv 0\) olduğundan, \(q' \equiv 1\) olur.
  • Şimdi \(1 \lor r\) işlemini yaparız. \(r \equiv 1\) olduğundan, \(1 \lor 1\) olur.
  • "Veya" (\(\lor\)) bağlacına göre, \(1 \lor 1 \equiv 1\)
    ✅ Sonuç: \(1\)

📌 Bu tür sorularda De Morgan kuralları ve diğer mantık denklikleri kullanılır.

• 👉 Adım 1: De Morgan Kuralını Uygulama
  • İlk parantez \((p \land q')'\) ifadesine De Morgan kuralını uygulayalım: \((A \land B)' \equiv A' \lor B'\)
  • Burada \(A = p\) ve \(B = q'\) dir.
  • \((p \land q')' \equiv p' \lor (q')'\)
  • \((q')' \equiv q\) olduğu için, ifade \(p' \lor q\) haline gelir.
• 👉 Adım 2: İfadeyi Yeniden Yazma
  • Şimdi bileşik önermeyi güncel haliyle yazalım: \((p' \lor q) \lor (p' \lor q)\)
• 👉 Adım 3: Tek Kuvvet Özelliğini Uygulama
  • Mantıkta \(A \lor A \equiv A\) (tek kuvvet özelliği) ve \(A \land A \equiv A\) özellikleri vardır.
  • Burada \(A = (p' \lor q)\) olarak düşünebiliriz.
  • Yani, \((p' \lor q) \lor (p' \lor q) \equiv p' \lor q\)
    ✅ Sonuç: \(p' \lor q\)

💡 "İse" (\(\Rightarrow\)) bağlacında sonucun yanlış (\(0\)) olması sadece bir durumda mümkündür: İlk önerme doğru (\(1\)) ve ikinci önerme yanlış (\(0\)) olduğunda (\(1 \Rightarrow 0 \equiv 0\)).

• 👉 Adım 1: \(p\) ve \(q\) önermelerinin doğruluk değerlerini bulma
  • \(p \Rightarrow q \equiv 0\) olduğundan, kesinlikle \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) olmalıdır.
• 👉 Adım 2: Verilen bileşik önermede değerleri yerine koyma
  • \(p \lor (q \land p')\) ifadesinde \(p=1\), \(q=0\) ve \(p'=0\) değerlerini yerine yazalım.
  • \(1 \lor (0 \land 0)\)
• 👉 Adım 3: Parantez içindeki işlemi yapma
  • \((0 \land 0)\) ifadesi "ve" bağlacına göre \(0\) olur.
  • İfade şimdi \(1 \lor 0\) haline gelir.
• 👉 Adım 4: Son işlemi yapma
  • \(1 \lor 0\) ifadesi "veya" bağlacına göre \(1\) olur.
    ✅ Sonuç: \(1\)

📌 Bir "ise" (\(\Rightarrow\)) önermesinin yanlış (\(0\)) olması için, sadece ve sadece ilk önermenin doğru (\(1\)) ve ikinci önermenin yanlış (\(0\)) olması gerekir.

• 👉 Adım 1: Ana önermenin doğruluk değerlerini ayırma
  • \((p \land q) \Rightarrow (p' \lor r) \equiv 0\)
  • Bu durumda, \((p \land q) \equiv 1\) ve \((p' \lor r) \equiv 0\) olmalıdır.
• 👉 Adım 2: \((p \land q)\) önermesinden \(p\) ve \(q\) değerlerini bulma
  • \((p \land q) \equiv 1\) olması için "ve" bağlacında her iki önermenin de doğru (\(1\)) olması gerekir.
  • Yani, \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 1\).
• 👉 Adım 3: \((p' \lor r)\) önermesinden \(r\) değerini bulma
  • \((p' \lor r) \equiv 0\) olması için "veya" bağlacında her iki önermenin de yanlış (\(0\)) olması gerekir.
  • Yani, \(p' \equiv 0\) ve \(r \equiv 0\).
• 👉 Adım 4: Doğruluk değerlerini kontrol etme
  • \(p \equiv 1\) ise \(p' \equiv 0\) olur. Bu, \((p' \lor r) \equiv 0\) koşuluyla uyumludur.
  • Sonuç olarak, \(p \equiv 1\), \(q \equiv 1\) ve \(r \equiv 0\).
    ✅ Cevap: \(p=1, q=1, r=0\)

💡 Öncelikle verilen önermelerin her birinin doğruluk değerini belirlemeliyiz.

• 👉 Adım 1: \(p\) önermesinin doğruluk değerini bulma
  • \(p\): "Karesi 9 olan tam sayılar -3 ve 3'tür."
  • \((-3)^2 = 9\) ve \(3^2 = 9\). Bu ifade doğrudur.
  • Yani, \(p \equiv 1\).
• 👉 Adım 2: \(q\) önermesinin doğruluk değerini bulma
  • \(q\): "Her tam sayının küpü kendisinden büyüktür."
  • Örneğin, \(1^3 = 1\), \(1\) kendisinden büyük değildir. Veya \(0^3 = 0\), \((-1)^3 = -1\).
  • Bu ifade yanlıştır.
  • Yani, \(q \equiv 0\).
• 👉 Adım 3: \(r\) önermesinin doğruluk değerini bulma
  • \(r\): "En küçük iki basamaklı pozitif tam sayı 10'dur."
  • İki basamaklı pozitif tam sayılar 10, 11, ..., 99'dur. En küçüğü 10'dur. Bu ifade doğrudur.
  • Yani, \(r \equiv 1\).
• 👉 Adım 4: Bileşik önermede doğruluk değerlerini yerine koyma
  • İstenen bileşik önerme \((p \land q') \Rightarrow r\).
  • \(p \equiv 1\), \(q \equiv 0\) (bu durumda \(q' \equiv 1\)), \(r \equiv 1\).
  • \((1 \land 1) \Rightarrow 1\)
• 👉 Adım 5: İşlemleri yapma
  • Önce parantez içi: \((1 \land 1) \equiv 1\).
  • Şimdi \((1) \Rightarrow 1\) ifadesi kalır.
  • "İse" bağlacında \(1 \Rightarrow 1 \equiv 1\).
    ✅ Sonuç: \(1\)

📌 Verilen senaryoyu mantık önermeleriyle ifade edip, istenen durumu analiz edelim.

• 👉 Adım 1: Verilen bilgileri mantık önermelerine çevirme
  • "Oyuncu 100 altın toplamış": \(p \equiv 1\)
  • "Oyuncu anahtarı bulamamış": \(r' \equiv 1\), bu da \(r \equiv 0\) demektir.
  • Oyuncunun seviye atlaması için \((p' \lor q) \land (q \Rightarrow r) \equiv 1\) olmalıdır.
  • Bizden istenen, bu koşullar altında \(q\) önermesinin doğruluk değerini bulmaktır.
• 👉 Adım 2: Bilinen değerleri ana bileşik önermede yerine koyma
  • \(p \equiv 1\) ise \(p' \equiv 0\).
  • \(r \equiv 0\).
  • Bu değerleri \((p' \lor q) \land (q \Rightarrow r) \equiv 1\) ifadesinde yerine yazalım:
  • \((0 \lor q) \land (q \Rightarrow 0) \equiv 1\)
• 👉 Adım 3: İfadeyi basitleştirme
  • \((0 \lor q) \equiv q\) (Çünkü \(0 \lor 0 \equiv 0\) ve \(0 \lor 1 \equiv 1\)).
  • İfade şimdi \(q \land (q \Rightarrow 0) \equiv 1\) haline gelir.
• 👉 Adım 4: "Ve" bağlacının özelliğini kullanma
  • Bir "ve" (\(\land\)) bağlacının sonucunun doğru (\(1\)) olması için, her iki tarafın da doğru (\(1\)) olması gerekir.
  • Yani, \(q \equiv 1\) ve \((q \Rightarrow 0) \equiv 1\) olmalıdır.
• 👉 Adım 5: \(q \Rightarrow 0\) ifadesini inceleme
  • Eğer \(q \equiv 1\) olsaydı, \((1 \Rightarrow 0)\) ifadesinin doğruluk değeri \(0\) olurdu.
  • Ancak biz \((q \Rightarrow 0) \equiv 1\) olmasını istiyoruz.
  • Bu durumda, \(q \Rightarrow 0\) ifadesinin \(1\) olması için \(q\) önermesinin kendisinin \(0\) olması gerekir (\(0 \Rightarrow 0 \equiv 1\)).
• 👉 Adım 6: Çelişkiyi fark etme ve \(q\) değerini bulma
  • Önceki adımdan \(q \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\) gibi çelişkili iki durum elde ettik. Bu ne anlama geliyor?
  • Demek ki \((q \Rightarrow 0) \equiv 1\) koşulu ile \(q \equiv 1\) koşulu aynı anda sağlanamaz.
  • Bu durumda, \((0 \lor q) \land (q \Rightarrow 0)\) ifadesinin doğruluk değeri hiçbir zaman \(1\) olamaz.
  • Fakat soruda bu ifadenin doğru olduğu belirtilmişti. Tekrar kontrol edelim.
  • \((p' \lor q) \land (q \Rightarrow r) \equiv 1\)
  • \(p \equiv 1 \Rightarrow p' \equiv 0\)
  • \(r \equiv 0\)
  • \((0 \lor q) \land (q \Rightarrow 0) \equiv 1\)
  • \(q \land (q \Rightarrow 0) \equiv 1\)
  • Eğer \(q \equiv 0\) ise: \(0 \land (0 \Rightarrow 0) = 0 \land 1 = 0\). (Yanlış)
  • Eğer \(q \equiv 1\) ise: \(1 \land (1 \Rightarrow 0) = 1 \land 0 = 0\). (Yanlış)
  • Bu durumda, verilen koşullar altında oyuncu seviye atlayamaz. Yani, \((p' \lor q) \land (q \Rightarrow r)\) önermesi hiçbir zaman doğru olamaz.
  • Sorunun mantıksal olarak tutarlı olması için, "bir üst seviyeye geçmek için canavarları yenmiş olması gerekir mi?" sorusunun cevabı, bu koşullar altında seviye atlamanın mümkün olmadığıdır.
  • Ancak sorunun amacı \(q\) değerini bulmaktır. Eğer bu bileşik önermenin doğru olması gerekiyorsa, bu durumda bir çelişki vardır.
  • Soruyu "oyuncu 100 altın toplamış ve anahtarı bulamamışsa, bu kurallara göre seviye atlayabilir mi?" şeklinde yorumlarsak, cevap "Hayır, atlayamaz" olur.
  • Eğer soru "oyuncunun seviye atlaması için gerekli olan \(q\) değeri nedir?" anlamında ise, yukarıdaki çelişkiden dolayı böyle bir \(q\) değeri yoktur.
  • Bu tarz yeni nesil sorularda bazen bu tür bir çelişki ortaya çıkabilir ve bu da bir cevaptır. Ancak genellikle bir çözüm beklenir.
  • Muhtemelen soruda "oyuncunun seviye atlayabildiği biliniyor" gibi bir ifade eksik. Eğer seviye atlayabiliyorsa, bu koşullarla çelişir.
  • Soruyu, "oyuncu 100 altın toplamış ve anahtarı bulamamışsa, seviye atlaması için \(q\) ne olmalıdır?" şeklinde revize edersek:
    • \(q \land (q \Rightarrow 0) \equiv 1\) ifadesinin doğru olması için \(q\) ve \((q \Rightarrow 0)\) ikisi de 1 olmalı.
    • \(q \equiv 1\) ise \((q \Rightarrow 0)\) ifadesi \((1 \Rightarrow 0) \equiv 0\) olur. \(1 \land 0 \equiv 0\).
    • \(q \equiv 0\) ise \((q \Rightarrow 0)\) ifadesi \((0 \Rightarrow 0) \equiv 1\) olur. \(0 \land 1 \equiv 0\).
    • Her iki durumda da sonuç 0 çıkıyor. Bu demektir ki, oyuncu bu koşullar altında seviye atlayamaz.
  • Dolayısıyla, "canavarları yenmiş olması gerekir mi?" sorusunun cevabı, bu koşullar altında seviye atlayamayacağı için bu önermenin doğruluk değerinin bir önemi kalmadığıdır. Ancak eğer bir cevap bekleniyorsa, mantıksal olarak bu durumda seviye atlamak imkansızdır.
  • Sorunun amacına daha uygun bir cevap için, eğer oyuncu seviye atlayabiliyorsa, verilen ön koşullarda bir hata olmalıydı. Ancak verilen haliyle, canavarları yenmiş olması (q=1) durumunda bile seviye atlayamaz.
  • Bu durumda, "canavarları yenmiş olması gerekir mi?" sorusuna verilecek en doğru cevap: "Bu koşullar altında seviye atlamak mümkün değildir."
  • Eğer illa \(q\) için bir değer isteniyorsa, bu mümkün değildir. Ancak soruyu "seviye atlamak için canavarları yenmeli midir?" şeklinde soruyorsa, bu durumda \(q\) nun 1 olması gerekir ki, bu da çelişkiye yol açar.
  • Bu bir "çelişki" durumu yaratır. Yani böyle bir durum gerçekleşemez.
  • ✅ Sonuç: Verilen koşullar altında (oyuncu 100 altın toplamış ve anahtarı bulamamışken) oyuncunun bir üst seviyeye geçmesi mümkün değildir. Bu nedenle "canavarları yenmiş olması gerekir mi?" sorusu anlamsızlaşır.

💡 Mantıkta bazı temel özellikler ve denklikler vardır. Bunları kullanarak her bir ifadeyi kontrol edelim.

• 👉 I. \(p \land 1 \equiv p\)
  • Eğer \(p \equiv 1\) ise, \(1 \land 1 \equiv 1\), yani \(p\).
  • Eğer \(p \equiv 0\) ise, \(0 \land 1 \equiv 0\), yani \(p\).
  • Her iki durumda da sonuç \(p\) olduğu için bu denklik doğrudur. ✅
• 👉 II. \(p \lor 0 \equiv p\)
  • Eğer \(p \equiv 1\) ise, \(1 \lor 0 \equiv 1\), yani \(p\).
  • Eğer \(p \equiv 0\) ise, \(0 \lor 0 \equiv 0\), yani \(p\).
  • Her iki durumda da sonuç \(p\) olduğu için bu denklik doğrudur. ✅
• 👉 III. \(p \land p' \equiv 1\)
  • Bu ifade "bir önerme ve kendisinin değili" anlamına gelir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz.
  • Eğer \(p \equiv 1\) ise, \(p' \equiv 0\). O zaman \(1 \land 0 \equiv 0\).
  • Eğer \(p \equiv 0\) ise, \(p' \equiv 1\). O zaman \(0 \land 1 \equiv 0\).
  • Sonuç her zaman \(0\) olmalıdır (\(p \land p' \equiv 0\)). Bu ifade yanlıştır. ❌
• 👉 IV. \(p \lor p' \equiv 0\)
  • Bu ifade "bir önerme veya kendisinin değili" anlamına gelir. Bir önerme ya doğru ya da yanlıştır.
  • Eğer \(p \equiv 1\) ise, \(p' \equiv 0\). O zaman \(1 \lor 0 \equiv 1\).
  • Eğer \(p \equiv 0\) ise, \(p' \equiv 1\). O zaman \(0 \lor 1 \equiv 1\).
  • Sonuç her zaman \(1\) olmalıdır (\(p \lor p' \equiv 1\)). Bu ifade yanlıştır. ❌

✅ Doğru olan denklikler: I ve II

📌 "Ancak ve ancak" (\(\Leftrightarrow\)) bağlacında sonucun yanlış (\(0\)) olması, iki önermenin doğruluk değerlerinin farklı olduğu durumlarda gerçekleşir.

• 👉 Adım 1: \(p \Leftrightarrow q\) önermesinin yanlış olma durumlarını inceleme
  • \(p \Leftrightarrow q \equiv 0\) ise, iki durum mümkündür:
  • Durum 1: \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\).
  • Durum 2: \(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 1\).
• 👉 Adım 2: Her iki durumu da verilen bileşik önermede test etme
  • Durum 1: \(p \equiv 1\) ve \(q \equiv 0\)
    • \(p' \equiv 0\).
    • Bileşik önermeyi yazalım: \((0 \lor 0) \Rightarrow (1 \land r')'\)
    • \((0 \lor 0) \equiv 0\).
    • İfade şimdi \(0 \Rightarrow (1 \land r')'\) haline gelir.
    • "İse" bağlacında ilk önerme yanlış (\(0\)) ise, sonuç her zaman doğrudur (\(1\)), ikinci önermenin doğruluk değeri ne olursa olsun.
    • Yani, \(0 \Rightarrow (1 \land r')' \equiv 1\).
  • Durum 2: \(p \equiv 0\) ve \(q \equiv 1\)
    • \(p' \equiv 1\).
    • Bileşik önermeyi yazalım: \((1 \lor 1) \Rightarrow (0 \land r')'\)
    • \((1 \lor 1) \equiv 1\).
    • \((0 \land r') \equiv 0\) (Çünkü "ve" bağlacında bir tane 0 varsa sonuç 0'dır).
    • \((0 \land r')' \equiv 0' \equiv 1\).
    • İfade şimdi \(1 \Rightarrow 1\) haline gelir.
    • "İse" bağlacında \(1 \Rightarrow 1 \equiv 1\).
• 👉 Adım 3: Sonucu belirleme
  • Her iki durumda da bileşik önermenin doğruluk değeri \(1\) çıkmıştır.
    ✅ Sonuç: \(1\)