📝 9. Sınıf Matematik: Üslü ifadelerle bölme işlemi Konu Özeti
Üslü ifadelerde bölme işlemi, tabanların veya üslerin aynı olması durumuna göre iki temel kural etrafında şekillenir. İşlem yapılırken tabanın sıfırdan farklı olması zorunludur; çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.
📌 1. Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölünmesi
Tabanları aynı, üsleri farklı olan iki üslü ifade bölünürken, ortak taban aynen yazılır ve payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\( a \neq 0 \) ve \( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere: \[ \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \]
Bu kuralın doğal bir sonucu olarak, paydada bulunan bir üslü ifade paya geçerken üssün işareti değişir:
\[ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \]Örnek Uygulamalar
- \( \frac{5^7}{5^3} = 5^{7 - 3} = 5^4 \)
- \( \frac{2^5}{2^{-3}} = 2^{5 - (-3)} = 2^{5 + 3} = 2^8 \)
- \( \frac{10^{-2}}{10^4} = 10^{-2 - 4} = 10^{-6} \)
- \( \frac{3^x}{3^2} = 3^{x - 2} \)
📌 2. Üsleri Aynı Olan Üslü İfadelerin Bölünmesi
Üsleri aynı, tabanları farklı olan iki üslü ifade bölünürken, tabanlar birbirine bölünür ve ortak üs elde edilen sonuca kuvvet olarak yazılır.
\( b \neq 0 \) ve \( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere: \[ \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \]
Örnek Uygulamalar
- \( \frac{12^4}{3^4} = \left(\frac{12}{3}\right)^4 = 4^4 \)
- \( \frac{15^x}{5^x} = \left(\frac{15}{5}\right)^x = 3^x \)
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} \)
⚙️ Tabanları Farklı Olan İfadelerde Taban Eşitleme
Hem tabanları hem de üsleri farklı olan sayılarda bölme işlemi yapabilmek için, sayılar asal çarpanlarına ayrılarak veya üssün üssü kuralı kullanılarak ortak bir tabanda birleştirilir.
Üssün üssü kuralı: \[ (a^x)^y = a^{x \cdot y} \]
Örnek: \( \frac{8^4}{4^5} \) işleminin sonucunu bulalım.
Her iki sayıyı da \( 2 \) tabanında yazalım:
- \( 8^4 = (2^3)^4 = 2^{12} \)
- \( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \)
Bölme kuralını uygulayalım:
\[ \frac{8^4}{4^5} = \frac{2^{12}}{2^{10}} = 2^{12 - 10} = 2^2 = 4 \]📊 Bölme İşlemi Kuralları Özeti
| Durum | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Tabanlar Aynı | \( \frac{a^x}{a^y} = a^{x - y} \) | \( \frac{7^9}{7^6} = 7^3 \) |
| Üsler Aynı | \( \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \) | \( \frac{18^5}{6^5} = 3^5 \) |
| Negatif Üs | \( \frac{1}{a^x} = a^{-x} \) | \( \frac{1}{2^4} = 2^{-4} \) |
✏️ Çözümlü Alıştırmalar
Soru 1: \( \frac{27^3 \cdot 9^2}{81^2} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: Tüm terimleri \( 3 \) tabanında ifade edelim:
- \( 27^3 = (3^3)^3 = 3^9 \)
- \( 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 \)
- \( 81^2 = (3^4)^2 = 3^8 \)
İfadeleri yerine yazarak çarpma ve bölme kurallarını uygulayalım:
\[ \frac{3^9 \cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{9 + 4}}{3^8} = \frac{3^{13}}{3^8} = 3^{13 - 8} = 3^5 = 243 \]Soru 2: \( 2^{x+3} \) sayısı, \( 2^{x-1} \) sayısının kaç katıdır?
Çözüm: Bir sayının diğerinin kaç katı olduğunu bulmak için ilk sayı ikinciye bölünür:
\[ \frac{2^{x+3}}{2^{x-1}} = 2^{(x+3) - (x-1)} \] \[ = 2^{x + 3 - x + 1} = 2^4 = 16 \]Soru 3: \( \frac{6^x + 6^x + 6^x}{3^x + 3^x} = 24 \) olduğuna göre \( x \) değerini bulunuz.
Çözüm: Pay ve paydadaki ortak terimleri toplayalım:
\[ \frac{3 \cdot 6^x}{2 \cdot 3^x} = 24 \]Üsleri aynı olan \( \frac{6^x}{3^x} \) ifadesini birleştirelim:
\[ \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{6}{3}\right)^x = 24 \] \[ \frac{3}{2} \cdot 2^x = 24 \]Her iki tarafı \( \frac{2}{3} \) ile çarpalım:
\[ 2^x = 24 \cdot \frac{2}{3} \] \[ 2^x = 16 \] \[ 2^x = 2^4 \implies x = 4 \]