💡 9. Sınıf Matematik: Üslü ifadelerle bölme işlemi Çözümlü Sorular

✅ Çözüm:

Tabanları aynı olan üslü ifadelerle bölme işlemi yapılırken, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

• Kuralımız: \( \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \)
• Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
• Payın üssü: \( 8 \)
• Paydanın üssü: \( 3 \)
• Ortak taban: \( 5 \)
• İşlem: \( 5^{8-3} = 5^5 \)

Cevap: \( 5^5 \)

✅ Çözüm:

Üsleri aynı olan üslü ifadelerle bölme işlemi yapılırken, payın tabanı paydanın tabanına bölünür ve ortak üs aynen yazılır.

• Kuralımız: \( \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x \)
• Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
• Payın tabanı: \( 12 \)
• Paydanın tabanı: \( 4 \)
• Ortak üs: \( 5 \)
• İşlem: \( \left(\frac{12}{4}\right)^5 = 3^5 \)

Cevap: \( 3^5 \)

✅ Çözüm:

Bölme işlemini yapabilmek için öncelikle tabanları aynı sayıya dönüştürmeliyiz. Hem \( 27 \) hem de \( 9 \) sayıları \( 3 \) tabanında yazılabilir.

• \( 27 = 3^3 \) olduğundan, pay kısmı: \( 27^4 = (3^3)^4 = 3^{3 \times 4} = 3^{12} \) olur.
• \( 9 = 3^2 \) olduğundan, payda kısmı: \( 9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \) olur.
• Şimdi bölme işlemini gerçekleştirelim:
• \[ \frac{3^{12}}{3^6} \]
• Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız: \( 3^{12-6} = 3^6 \)

Cevap: \( 3^6 \)

✅ Çözüm:

İşlemdeki tüm sayıları \( 2 \) tabanında yazarak sadeleştirme yapalım:

• Pay kısmındaki \( 4^3 \) ifadesini düzenleyelim: \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \)
• Payı hesaplayalım: \( 2^{-5} \cdot 2^6 = 2^{-5+6} = 2^1 \)
• Payda kısmındaki \( 8^{-2} \) ifadesini düzenleyelim: \( 8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6} \)
• Şimdi bölme işlemini yapalım:
• \[ \frac{2^1}{2^{-6}} \]
• Bölme kuralına göre paydanın üssünü çıkarırız: \( 2^{1 - (-6)} = 2^{1+6} = 2^7 \)
• \( 2^7 = 128 \) olarak bulunur.

Cevap: \( 2^7 \) veya \( 128 \)

✅ Çözüm:

Bu tarz sorularda pay kısmını ortak çarpan parantezine alarak veya terimleri tek tek paydaya bölerek çözüme ulaşabiliriz.

Yöntem: Ortak Çarpan Parantezine Alma

• Pay kısmındaki terimleri en küçük üslü ifade olan \( 3^{x+2} \) parantezine alalım:
• \( 3^{x+4} = 3^{x+2} \cdot 3^2 \)
• \( 3^{x+2} = 3^{x+2} \cdot 1 \)
• Pay kısmı: \( 3^{x+2} \cdot (3^2 - 1) = 3^{x+2} \cdot (9 - 1) = 3^{x+2} \cdot 8 \) olur.
• Şimdi ifadeyi bölme şeklinde yazalım:
• \[ \frac{3^{x+2} \cdot 8}{3^{x+1}} \]
• Üslü ifadeleri kendi arasında bölelim: \( \frac{3^{x+2}}{3^{x+1}} = 3^{(x+2)-(x+1)} = 3^1 = 3 \)
• Kalan sayı ile çarpalım: \( 3 \cdot 8 = 24 \)

Cevap: \( 24 \)

✅ Çözüm:

Adım adım bakteri sayısındaki değişimi inceleyelim ve bölme işlemi ile kat oranını bulalım:

• Başlangıçtaki bakteri sayısı: \( 2^5 \)
• Her saat bakteri sayısı 2 katına çıktığı için, 8 saat sonraki bakteri sayısını bulmak için başlangıç sayısını 8 kez 2 ile çarparız. Yani \( 2^8 \) ile çarpmamız gerekir:
• 8 saat sonraki bakteri sayısı: \( 2^5 \cdot 2^8 = 2^{5+8} = 2^{13} \)
• Bizden istenen, son durumdaki bakteri sayısının başlangıçtaki sayıya oranıdır (kaç katı olduğudur):
• Kat oranı: \[ \frac{\text{Son Durum}}{\text{Başlangıç}} = \frac{2^{13}}{2^5} \]
• Bölme işlemini yaparsak: \( 2^{13-5} = 2^8 \)
• \( 2^8 = 256 \) katı olur.

Cevap: \( 2^8 \) (veya \( 256 \) katı)

✅ Çözüm:

Büyük karenin alanından yola çıkarak her adımda alanın nasıl değiştiğini hesaplayalım:

• Başlangıçtaki karenin bir kenarı: \( 4^4 \) milimetre.
• Başlangıçtaki alan: \( (4^4)^2 = 4^8 \) milimetrekare.
• Bir kare 4 eş parçaya bölündüğünde, oluşan her yeni parçanın alanı eski alanın \( \frac{1}{4} \)'ü kadar olur. Yani her adımda alan \( 4 \)'e bölünür.
• Bu işlem 3 kez tekrarlandığına göre, başlangıçtaki alan toplamda 3 kez \( 4 \)'e bölünmüş olur. Yani alan \( 4^3 \) sayısına bölünmelidir.
• Oluşan en küçük karenin alanı: \[ \frac{4^8}{4^3} \]
• Tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız: \( 4^{8-3} = 4^5 \) milimetrekare.
• Bu ifadeyi 2 tabanında yazarsak: \( (2^2)^5 = 2^{10} = 1024 \) milimetrekare olur.

Cevap: \( 2^{10} \) (veya \( 1024 \)) milimetrekare

✅ Çözüm:

Soruyu çözmek için öncelikle toplam kapasiteyi ve boş alanı 2 tabanında ifade etmeli, ardından bölme işlemi yapmalıyız:

• Toplam Kapasite: \( 8^6 \) MB.
• \( 8 = 2^3 \) olduğundan: \( 8^6 = (2^3)^6 = 2^{18} \) MB olur.
• Boş Alan: Toplam kapasitenin yarısı kadardır. Bir sayının yarısını bulmak için o sayıyı \( 2 \)'ye böleriz:
• \[ \text{Boş Alan} = \frac{2^{18}}{2^1} = 2^{18-1} = 2^{17} \text{ MB} \]
• Yüklenecek Dosya Sayısı: Boş alana kaç adet \( 2^7 \) MB'lık dosya sığacağını bulmak için boş alanı bir dosyanın boyutuna böleriz:
• \[ \text{Dosya Sayısı} = \frac{2^{17}}{2^7} \]
• Bölme işlemini yapalım: \( 2^{17-7} = 2^{10} \)
• \( 2^{10} = 1024 \) adet dosya yüklenebilir.

Cevap: \( 2^{10} \) (veya \( 1024 \)) adet dosya