Rasyonel Sayılar ve Üslü-Köklü İfadeler Konu Özeti

Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Genellikle \( \frac{a}{b} \) şeklinde gösterilirler; burada \( a \) bir tam sayı (pay), \( b \) sıfırdan farklı bir tam sayı (payda) olmalıdır.

Örnek: \( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, 5 (\text{yani } \frac{5}{1}), 0.75 (\text{yani } \frac{3}{4}) \) rasyonel sayılardır.

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Toplama ve Çıkarma:
Paydalar eşitse paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \]
Paydalar farklıysa, ortak bir paydada (genellikle en küçük ortak katlarında) eşitlenir.
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \]
Çarpma:
Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.
\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Bölme:
Birinci rasyonel sayı aynen yazılır, ikinci rasyonel sayı ters çevrilerek çarpılır.
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Rasyonel Sayıları Sıralama

Rasyonel sayıları sıralarken genellikle şu yöntemler kullanılır:

Paydaları Eşitleme: Paydalar eşitlendikten sonra payı büyük olan sayı daha büyüktür.
Payları Eşitleme: Paylar eşit ve pozitifse, paydası küçük olan sayı daha büyüktür. Paylar eşit ve negatifse, paydası küçük olan sayı mutlak değerce daha büyük olduğundan daha küçüktür.
Yarıma Yakınlık veya Tama Yakınlık: Özellikle pay ve payda arasındaki farkın sabit olduğu kesirlerde veya basit kesirlerde karşılaştırma için kullanılır.

Önemli Notlar

Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. (Örn: \( 3 = \frac{3}{1} \))
Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıdır. Örn: \( 0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). Genel formülü: \( \frac{\text{Tüm sayı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0}} \)
Bileşik kesir: Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirler. Örn: \( \frac{7}{3} \)
Basit kesir: Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirler. Örn: \( \frac{2}{5} \)

Üslü İfadeler

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa gösterimine üslü ifade denir. \( a^n \) şeklinde gösterilir; burada \( a \) taban, \( n \) ise üs veya kuvvettir.

Örnek: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)

Üslü İfadelerin Özellikleri

Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri: \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ tane}} \)
Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. \( a^0 = 1 \) ( \( a \neq 0 \) için)
Birinci Kuvvet: Her sayının birinci kuvveti kendisine eşittir. \( a^1 = a \)
Negatif Kuvvet: Bir sayının negatif kuvveti, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif kuvvetidir. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) ( \( a \neq 0 \) için)
Çarpma İşlemi:
- Tabanlar aynıysa, üsler toplanır: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- Üsler aynıysa, tabanlar çarpılır: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
Bölme İşlemi:
- Tabanlar aynıysa, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) ( \( a \neq 0 \) için)
- Üsler aynıysa, tabanlar bölünür: \( \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \) ( \( b \neq 0 \) için)
Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Kesirli Üs: Bir sayının kesirli kuvveti, köklü ifade olarak yazılabilir. \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \)

Önemli Notlar

Negatif bir sayının;
- Tek kuvvetleri negatif, Örn: \( (-2)^3 = -8 \)
- Çift kuvvetleri pozitiftir. Örn: \( (-2)^4 = 16 \)
\( -a^n \) ile \( (-a)^n \) farklıdır. \( -a^n \) ifadesinde üs sadece \( a \)'yı etkilerken, \( (-a)^n \) ifadesinde üs tabanın tamamını etkiler. Örn: \( -2^4 = -16 \) iken \( (-2)^4 = 16 \).

Köklü İfadeler

Bir \( a \) pozitif gerçek sayısının \( n \)-inci kuvveti \( x \) olan sayıya \( x \)'in \( n \)-inci kuvvetten kökü denir ve \( \sqrt[n]{x} \) şeklinde gösterilir. Burada \( n \) kök derecesi, \( x \) kök içindeki sayıdır.

Örnek: \( \sqrt{9} = 3 \) çünkü \( 3^2 = 9 \). \( \sqrt[3]{8} = 2 \) çünkü \( 2^3 = 8 \).

Köklü İfadelerin Özellikleri

Tanım Kümesi:
- \( n \) çift ise, \( \sqrt[n]{x} \) ifadesinin tanımlı olması için \( x \ge 0 \) olmalıdır.
- \( n \) tek ise, \( x \) her gerçek sayı olabilir.
Kök Dışına Çıkarma:
- \( \sqrt[n]{a^n} = |a| \) ( \( n \) çift ise)
- \( \sqrt[n]{a^n} = a \) ( \( n \) tek ise)
- \( \sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b} \) ( \( a \ge 0 \) ise \( a\sqrt{b} \))
Kök İçine Alma: \( a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b} \) ( \( a \ge 0 \) ve \( n \) çift ise; genelde \( a \) pozitif kabul edilir.)
Kök Derecesi Değiştirme: Kök derecesi ve kök içindeki sayının üssü aynı pozitif tam sayıyla çarpılıp bölünebilir. \[ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} \]
Çarpma ve Bölme İşlemi: Kök dereceleri aynı olan köklü ifadeler çarpılır veya bölünürken, kök içleri kendi arasında çarpılır veya bölünür, ortak kök derecesi yazılır.
- \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)
- \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \) ( \( b \neq 0 \) için)
Toplama ve Çıkarma İşlemi: Kök dereceleri ve kök içleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. \[ x\sqrt[n]{a} + y\sqrt[n]{a} = (x+y)\sqrt[n]{a} \]
Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik): Paydada köklü ifade bulunuyorsa, paydayı kökten kurtarmak için eşlenikle çarpılır.
- \( \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \) ( \( \sqrt{b} \) ile çarpma)
- \( \frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} \mp \sqrt{c})}{(\sqrt{b} \pm \sqrt{c})(\sqrt{b} \mp \sqrt{c})} = \frac{a(\sqrt{b} \mp \sqrt{c})}{b-c} \)

Önemli Notlar

Kök derecesi yazılmayan köklü ifadelerin derecesi 2'dir. Yani \( \sqrt{a} = \sqrt[2]{a} \)
\( \sqrt{0} = 0 \), \( \sqrt{1} = 1 \)
İç içe kökler, üslü ifadeye çevrilerek çözülebilir. Örn: \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \)