🪄 Sınav/Test Üret
Ana Sayfa / KPSS / KPSS Matematik / Rasyonel Sayılar ve Üslü-Köklü İfadeler / Çözümlü Sorular
🎓 KPSS 📚 KPSS Matematik

💡 KPSS Matematik: Rasyonel Sayılar ve Üslü-Köklü İfadeler Çözümlü Sorular

1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) \]
Çözüm ve Açıklama
Bu tür rasyonel sayılarda işlem önceliği parantez içindedir.

  • 💡 Adım 1: Parantez içini hesaplayın.

    • Parantez içindeki kesirleri toplamak için paydaları eşitlemeliyiz. En küçük ortak kat 6'dır.

    \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} \]

    Kesri sadeleştirelim:

    \[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
  • 📌 Adım 2: Ana işlemi tamamlayın.

    • Şimdi ilk kesirden parantez sonucunu çıkaralım:

    \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \]
  • ✅ Sonuç: İşlemin sonucu 0'dır.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
\( 0,\overline{4} + 0,1\overline{2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Devirli ondalık sayıları rasyonel sayılara çevirme kuralını uygulayalım.

  • 💡 Adım 1: \( 0,\overline{4} \) sayısını rasyonel sayıya çevirin.

    • Kural: Sayının tamamı - devretmeyen kısım / paydaya devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0.

    \[ 0,\overline{4} = \frac{4-0}{9} = \frac{4}{9} \]
  • 📌 Adım 2: \( 0,1\overline{2} \) sayısını rasyonel sayıya çevirin.
    • \[ 0,1\overline{2} = \frac{12-1}{90} = \frac{11}{90} \]
  • 👉 Adım 3: İki rasyonel sayıyı toplayın.

    • Toplama işlemi için paydaları eşitlemeliyiz. En küçük ortak kat 90'dır.

    \[ \frac{4}{9} + \frac{11}{90} = \frac{4 \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{11}{90} = \frac{40}{90} + \frac{11}{90} = \frac{40+11}{90} = \frac{51}{90} \]

    Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 3'e bölelim):

    \[ \frac{51 \div 3}{90 \div 3} = \frac{17}{30} \]
  • ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( \frac{17}{30} \)'dur.
3
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \frac{2^5 \cdot 4^3}{8^2} \]
Çözüm ve Açıklama
Üslü ifadelerde işlem yaparken tabanları aynı yapmak genellikle işleri kolaylaştırır. Tüm tabanları 2'nin kuvveti şeklinde yazalım.

  • 💡 Adım 1: Tabanları 2'nin kuvveti olarak yazın.

    • Biliyoruz ki \( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \).

    • \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
    • \( 8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)

  • 📌 Adım 2: İfadeyi yeniden yazın ve işlemi yapın.

    • Şimdi ifadeyi yeni tabanlarla yazalım:

    \[ \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^6} \]

    Pay kısmında üsleri toplarız (\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)):

    \[ \frac{2^{5+6}}{2^6} = \frac{2^{11}}{2^6} \]

    Bölme işleminde üsleri çıkarırız (\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)):

    \[ 2^{11-6} = 2^5 \]
  • 👉 Adım 3: Sonucu hesaplayın.
    • \[ 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \]
  • ✅ Sonuç: İşlemin sonucu 32'dir.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
\( a = (-2)^3 \), \( b = -2^4 \), \( c = (-3)^2 \) olduğuna göre a, b, c sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm ve Açıklama
Verilen üslü ifadelerin değerlerini tek tek hesaplayarak sıralama yapalım.

  • 💡 Adım 1: a sayısının değerini bulun.

    • Negatif bir sayının tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitiftir.

    \[ a = (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8 \]
  • 📌 Adım 2: b sayısının değerini bulun.

    • Burada üs sadece 2'yi etkiler, eksi işareti dışarıdadır.

    \[ b = -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \]
  • 👉 Adım 3: c sayısının değerini bulun.

    • Negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.

    \[ c = (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \]
  • ✅ Adım 4: Sayıları küçükten büyüğe sıralayın.

    • Bulduğumuz değerler: \( a = -8 \), \( b = -16 \), \( c = 9 \).

    En küçük sayı negatif sayılar arasında daha büyük mutlak değere sahip olanıdır.

    Sıralama: \( -16 < -8 < 9 \)

    Yani: \( b < a < c \)

5
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27} \]
Çözüm ve Açıklama
Köklü sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içindeki sayıları \( a^2 \cdot b \) şeklinde yazarak kök dışına çıkaralım.

  • 💡 Adım 1: \( \sqrt{75} \) ifadesini basitleştirin.

    • \( 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 \)

    \[ \sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]
  • 📌 Adım 2: \( \sqrt{12} \) ifadesini basitleştirin.

    • \( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)

    \[ \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]
  • 👉 Adım 3: \( \sqrt{27} \) ifadesini basitleştirin.

    • \( 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 \)

    \[ \sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \]
  • ✅ Adım 4: İfadeleri yerine yazarak işlemi tamamlayın.

    • Şimdi basitleştirilmiş köklü ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım:

    \[ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \]

    Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:

    \[ (5 + 2 - 3)\sqrt{3} = (7 - 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
  • ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 4\sqrt{3} \)'tür.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{10}{\sqrt{5}} \]
Çözüm ve Açıklama
Paydalarda köklü ifade bulunduğunda, paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı köklü ifadenin eşleniği ile çarparız.

  • 💡 Adım 1: İlk kesrin paydasını rasyonel yapın.

    • \( \frac{6}{\sqrt{3}} \) ifadesinin pay ve paydasını \( \sqrt{3} \) ile çarpalım:

    \[ \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} \]

    Sadeleştirelim:

    \[ \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]
  • 📌 Adım 2: İkinci kesrin paydasını rasyonel yapın.

    • \( \frac{10}{\sqrt{5}} \) ifadesinin pay ve paydasını \( \sqrt{5} \) ile çarpalım:

    \[ \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} \]

    Sadeleştirelim:

    \[ \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]
  • 👉 Adım 3: Elde edilen ifadeleri toplayın.

    • Şimdi iki basitleştirilmiş ifadeyi toplayalım:

    \[ 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} \]

    Kök içleri farklı olduğu için bu ifade daha fazla basitleştirilemez veya toplanamaz.


  • ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 2\sqrt{3} + 2\sqrt{5} \)'tir.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
\( \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{5} \) olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu tür ardışık çarpan içeren sorularda, her bir terimi ayrı ayrı hesaplayıp sadeleştirmeyi gözlemlemeliyiz.

  • 💡 Adım 1: Her bir parantez içindeki işlemi yapın.
    • \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
    • \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)
    • \( 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)
    • Bu örüntüye göre son terim: \( 1 - \frac{1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} \)

  • 📌 Adım 2: Çarpımı sadeleştirin.

    • Şimdi tüm bu terimleri çarpım halinde yazalım:

    \[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n} \]

    Dikkat ederseniz, paydadaki bir sayı ile sonraki kesrin payındaki sayı birbirini götürmektedir (çapraz sadeleşme).

    \( \frac{2}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{n-1}}{n} \)

    Bu sadeleştirme sonucunda geriye sadece ilk kesrin payı ve son kesrin paydası kalır:

    \[ \frac{2}{n} \]
  • 👉 Adım 3: Denklemi çözerek n değerini bulun.

    • Soruda bu çarpımın \( \frac{1}{5} \)'e eşit olduğu verilmişti:

    \[ \frac{2}{n} = \frac{1}{5} \]

    İçler dışlar çarpımı yaparak n'i bulalım:

    \[ 1 \cdot n = 2 \cdot 5 \] \[ n = 10 \]
  • ✅ Sonuç: n değeri 10'dur.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir bakteri türü her 30 dakikada bir sayısını 2 katına çıkarmaktadır. Başlangıçta 16 bakteri olduğuna göre, 3 saatin sonunda bu bakteri türünden kaç tane olur?
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, üslü ifadelerle büyüme modelini anlamayı gerektiren bir yeni nesil sorudur.

  • 💡 Adım 1: Toplam süreyi ve katlanma periyodunu aynı birime çevirin.

    • Bakteriler her 30 dakikada bir katlanıyor. Toplam süre 3 saattir.

    1 saat = 60 dakika

    3 saat = \( 3 \times 60 = 180 \) dakika


  • 📌 Adım 2: Katlanma sayısını bulun.

    • Her 30 dakikada bir katlandığına göre, 180 dakika içinde kaç kez katlanacağını bulalım:

    Katlanma sayısı = \( \frac{\text{Toplam süre}}{\text{Katlanma periyodu}} = \frac{180 \text{ dakika}}{30 \text{ dakika}} = 6 \) kez


  • 👉 Adım 3: Başlangıçtaki bakteri sayısını ve büyüme faktörünü kullanarak son durumu hesaplayın.

    • Başlangıçta 16 bakteri var ve her katlanmada sayı 2 katına çıkıyor. 6 kez katlanacak.

    Son bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) (Büyüme faktörü)\(^{\text{Katlanma sayısı}} \)

    \[ \text{Son bakteri sayısı} = 16 \times 2^6 \]

    \( 2^6 \) değerini hesaplayalım:

    \[ 2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64 \]

    Şimdi çarpma işlemini tamamlayalım:

    \[ 16 \times 64 \]
    • \( 16 \times 60 = 960 \)
    • \( 16 \times 4 = 64 \)
    • \( 960 + 64 = 1024 \)

  • ✅ Sonuç: 3 saatin sonunda bu bakteri türünden 1024 tane olur.

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.