Bulduğumuz değerler: \( a = -8 \), \( b = -16 \), \( c = 9 \).
En küçük sayı negatif sayılar arasında daha büyük mutlak değere sahip olanıdır.
Sıralama: \( -16 < -8 < 9 \)
Yani: \( b < a < c \)
5
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27} \]
Çözüm ve Açıklama
Köklü sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içindeki sayıları \( a^2 \cdot b \) şeklinde yazarak kök dışına çıkaralım.
💡 Adım 1: \( \sqrt{75} \) ifadesini basitleştirin.
\( 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]
📌 Adım 2: \( \sqrt{12} \) ifadesini basitleştirin.
\( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]
👉 Adım 3: \( \sqrt{27} \) ifadesini basitleştirin.
\( 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \]
✅ Adım 4: İfadeleri yerine yazarak işlemi tamamlayın.
Şimdi basitleştirilmiş köklü ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım:
\[ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \]
Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
Bu sadeleştirme sonucunda geriye sadece ilk kesrin payı ve son kesrin paydası kalır:
\[ \frac{2}{n} \]
👉 Adım 3: Denklemi çözerek n değerini bulun.
Soruda bu çarpımın \( \frac{1}{5} \)'e eşit olduğu verilmişti:
\[ \frac{2}{n} = \frac{1}{5} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak n'i bulalım:
\[ 1 \cdot n = 2 \cdot 5 \]
\[ n = 10 \]
✅ Sonuç:n değeri 10'dur.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir bakteri türü her 30 dakikada bir sayısını 2 katına çıkarmaktadır. Başlangıçta 16 bakteri olduğuna göre, 3 saatin sonunda bu bakteri türünden kaç tane olur?
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, üslü ifadelerle büyüme modelini anlamayı gerektiren bir yeni nesil sorudur.
💡 Adım 1: Toplam süreyi ve katlanma periyodunu aynı birime çevirin.
Bakteriler her 30 dakikada bir katlanıyor. Toplam süre 3 saattir.
1 saat = 60 dakika
3 saat = \( 3 \times 60 = 180 \) dakika
📌 Adım 2: Katlanma sayısını bulun.
Her 30 dakikada bir katlandığına göre, 180 dakika içinde kaç kez katlanacağını bulalım:
Katlanma sayısı = \( \frac{\text{Toplam süre}}{\text{Katlanma periyodu}} = \frac{180 \text{ dakika}}{30 \text{ dakika}} = 6 \) kez
👉 Adım 3: Başlangıçtaki bakteri sayısını ve büyüme faktörünü kullanarak son durumu hesaplayın.
Başlangıçta 16 bakteri var ve her katlanmada sayı 2 katına çıkıyor. 6 kez katlanacak.
Son bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) (Büyüme faktörü)\(^{\text{Katlanma sayısı}} \)
Bulduğumuz değerler: \( a = -8 \), \( b = -16 \), \( c = 9 \).
En küçük sayı negatif sayılar arasında daha büyük mutlak değere sahip olanıdır.
Sıralama: \( -16 < -8 < 9 \)
Yani: \( b < a < c \)
Soru 5:
Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
\[ \sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27} \]
Çözüm:
Köklü sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içindeki sayıları \( a^2 \cdot b \) şeklinde yazarak kök dışına çıkaralım.
💡 Adım 1: \( \sqrt{75} \) ifadesini basitleştirin.
\( 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]
📌 Adım 2: \( \sqrt{12} \) ifadesini basitleştirin.
\( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]
👉 Adım 3: \( \sqrt{27} \) ifadesini basitleştirin.
\( 27 = 9 \cdot 3 = 3^2 \cdot 3 \)
\[ \sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \]
✅ Adım 4: İfadeleri yerine yazarak işlemi tamamlayın.
Şimdi basitleştirilmiş köklü ifadeleri orijinal işlemde yerine koyalım:
\[ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \]
Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayıp çıkarabiliriz:
Bu sadeleştirme sonucunda geriye sadece ilk kesrin payı ve son kesrin paydası kalır:
\[ \frac{2}{n} \]
👉 Adım 3: Denklemi çözerek n değerini bulun.
Soruda bu çarpımın \( \frac{1}{5} \)'e eşit olduğu verilmişti:
\[ \frac{2}{n} = \frac{1}{5} \]
İçler dışlar çarpımı yaparak n'i bulalım:
\[ 1 \cdot n = 2 \cdot 5 \]
\[ n = 10 \]
✅ Sonuç:n değeri 10'dur.
Soru 8:
Bir bakteri türü her 30 dakikada bir sayısını 2 katına çıkarmaktadır. Başlangıçta 16 bakteri olduğuna göre, 3 saatin sonunda bu bakteri türünden kaç tane olur?
Çözüm:
Bu problem, üslü ifadelerle büyüme modelini anlamayı gerektiren bir yeni nesil sorudur.
💡 Adım 1: Toplam süreyi ve katlanma periyodunu aynı birime çevirin.
Bakteriler her 30 dakikada bir katlanıyor. Toplam süre 3 saattir.
1 saat = 60 dakika
3 saat = \( 3 \times 60 = 180 \) dakika
📌 Adım 2: Katlanma sayısını bulun.
Her 30 dakikada bir katlandığına göre, 180 dakika içinde kaç kez katlanacağını bulalım:
Katlanma sayısı = \( \frac{\text{Toplam süre}}{\text{Katlanma periyodu}} = \frac{180 \text{ dakika}}{30 \text{ dakika}} = 6 \) kez
👉 Adım 3: Başlangıçtaki bakteri sayısını ve büyüme faktörünü kullanarak son durumu hesaplayın.
Başlangıçta 16 bakteri var ve her katlanmada sayı 2 katına çıkıyor. 6 kez katlanacak.
Son bakteri sayısı = Başlangıç sayısı \( \times \) (Büyüme faktörü)\(^{\text{Katlanma sayısı}} \)