📝 TYT Matematik: Permütasyon Konu Özeti
TYT Matematik: Permütasyon Konu Özeti 🚀
Permütasyon, belirli bir kümenin elemanlarının sıralanışlarını inceleyen bir konudur. TYT Matematik müfredatında yer alan permütasyon kavramı, nesnelerin farklı dizilişlerini sayma prensiplerine dayanır.
1. Permütasyonun Temel Kavramı
n farklı nesnenin n'li permütasyonu, bu nesnelerin farklı sıralanışlarının sayısıdır ve \( n! \) (n faktöriyel) ile gösterilir.
\( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1 \)
Örneğin, 3 farklı nesnenin (A, B, C) sıralanışı 3! = \( 3 \times 2 \times 1 = 6 \) farklı şekilde yapılabilir: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
2. n'in r'li Permütasyonu
n farklı nesnenin r'li permütasyonu, bu nesnelerden r tanesinin farklı sıralanışlarının sayısıdır. \( P(n, r) \) veya \( _nP_r \) ile gösterilir.
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]Bu formül, n nesne arasından r tanesini seçip sıralama anlamına gelir.
Örnek 1:
5 kişilik bir gruptan, başkan ve başkan yardımcısı seçilecektir. Kaç farklı şekilde bu seçim yapılabilir?
Bu durumda, 5 kişiden 2'sinin sıralanışını bulmamız gerekiyor. Yani \( P(5, 2) \) hesaplanacaktır.
\[ P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20 \]Bu seçim 20 farklı şekilde yapılabilir.
Örnek 2:
A, B, C, D harflerini kullanarak 3 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler oluşturulacaktır. Kaç farklı kelime yazılabilir?
Burada 4 harf arasından 3 harf seçilip sıralanacaktır. Yani \( P(4, 3) \) hesaplanmalıdır.
\[ P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 24 \]24 farklı kelime yazılabilir.
3. Tekrarlı Permütasyon
Bir kümede tekrar eden elemanlar varsa, permütasyon hesaplaması farklılaşır. n elemanlı bir dizilişte, \( n_1 \) tane 1. türden, \( n_2 \) tane 2. türden, ..., \( n_k \) tane k. türden tekrar eden eleman varsa, toplam permütasyon sayısı şu formülle bulunur:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \]Burada \( n_1 + n_2 + \dots + n_k = n \) olmalıdır.
Örnek 3:
RAKİP kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabilir?
Kelime 6 harflidir. 'A' harfi 2 kez tekrar etmektedir. Diğer harfler tektir.
\[ \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \]360 farklı kelime yazılabilir.
Örnek 4:
MATEMATİK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabilir?
Kelime 9 harflidir. 'M' harfi 2 kez, 'A' harfi 2 kez, 'T' harfi 2 kez tekrar etmektedir.
\[ \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]45360 farklı kelime yazılabilir.
4. Sabit Kalması Koşulu Olan Permütasyonlar
Bazı durumlarda, belirli elemanların belirli konumlarda sabit kalması istenebilir. Bu tür durumlarda, sabit kalan elemanlar yerine konulmuş gibi düşünülerek kalan elemanların permütasyonu hesaplanır.
Örnek 5:
4 farklı matematik, 3 farklı fizik kitabı bir rafta dizilecektir. Matematik kitapları yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
Matematik kitapları (M1, M2, M3, M4) bir bütün olarak düşünülür. Bu bütün ile 3 fizik kitabı (F1, F2, F3) toplamda 4 birim olarak sıralanır: \( 4! \). Matematik kitapları kendi içinde 4! şekilde sıralanabilir.
Toplam diziliş sayısı: \( 4! \times 4! = 24 \times 24 = 576 \)
Örnek 6:
5 kişilik bir grup yan yana dizilecektir. Ali ve Ayşe'nin yan yana olmaması şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilirler?
Önce toplam diziliş sayısını bulalım: \( 5! = 120 \).
Şimdi Ali ve Ayşe'nin yan yana olduğu durumları bulalım. Ali ve Ayşe'yi bir bütün (AA) olarak düşünelim. Bu bütün ile diğer 3 kişi (P1, P2, P3) toplam 4 birim olarak sıralanır: \( 4! \). Ali ve Ayşe kendi içinde 2! şekilde yer değiştirebilir.
Ali ve Ayşe'nin yan yana olduğu durum sayısı: \( 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48 \).
Ali ve Ayşe'nin yan yana olmadığı durum sayısı: Toplam durum - Yan yana olduğu durumlar = \( 120 - 48 = 72 \).
5. Dairesel Permütasyon
n farklı nesnenin dairesel bir masa etrafında dizilişlerinin sayısı \( (n-1)! \) ile gösterilir.
\( (n-1)! \)
Bu, dairesel dizilişlerde başlangıç noktasının önemsiz olmasından kaynaklanır.
Örnek 7:
4 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
\[ (4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]6 farklı şekilde oturabilirler.
Örnek 8:
5 evli çift, yuvarlak bir masa etrafında oturacaktır. Kadınlar ve erkekler kendi aralarında ayrılmamak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilir?
Her evli çifti bir bütün (K1E1, K2E2, K3E3, K4E4, K5E5) olarak düşünelim. Bu 5 bütün dairesel olarak sıralanır: \( (5-1)! = 4! \). Her çift kendi içinde 2! şekilde yer değiştirebilir.
Toplam diziliş sayısı: \( (5-1)! \times (2!)^5 = 4! \times 2^5 = 24 \times 32 = 768 \).