💡 TYT Matematik: Permütasyon Çözümlü Sorular

Bu soruda, tişörtlerin sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanmamız gerekir. Ancak TYT müfredatında permütasyon konusunu işlediğimiz için, bu soruyu permütasyon mantığıyla da çözebiliriz.

• Elimizde 5 farklı tişört var.
• Bu 5 tişörtten 2 tanesini seçeceğiz.
• Sıra önemli olmadığı için, seçtiğimiz 2 tişörtün kendi arasındaki sıralaması bizi ilgilendirmiyor.
• Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) şeklindedir.
• Burada \( n=5 \) (toplam tişört sayısı) ve \( k=2 \) (seçilecek tişört sayısı).
• \( P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20 \)

Ancak soruda "kaç farklı şekilde seçebiliriz" denildiği için, bu aslında bir kombinasyon sorusudur. Kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) şeklindedir.

• \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \)

TYT müfredatında genellikle bu tür sorularda "seçme" kelimesi geçiyorsa kombinasyon, "sıralama" veya "yerleştirme" kelimesi geçiyorsa permütasyon kullanılır. Bu sorunun doğru cevabı 10'dur. Ancak permütasyon mantığıyla düşünürsek, 20 farklı sıralama buluruz. Sorunun tam olarak ne istediği önemlidir. Eğer sadece seçme ise kombinasyon, seçip sıralama ise permütasyon kullanılır.
💡 Önemli Not: Bu soruda "seçme" ifadesi kullanıldığı için kombinasyon daha uygundur. Permütasyon, sıralama gerektiren durumlar için kullanılır.

Bu soruda her mektubun atılabileceği farklı posta kutuları vardır ve mektupların sırası önemlidir. Bu bir permütasyon problemidir.

• Birinci mektubu 4 farklı posta kutusundan birine atabiliriz.
• İkinci mektubu ise kalan 3 farklı posta kutusundan birine atabiliriz.
• Üçüncü mektubu kalan 2 farklı posta kutusundan birine atabiliriz.
• Dördüncü mektubu ise kalan son 1 posta kutusuna atabiliriz.
• Toplam farklı atma şekli, bu olasılıkların çarpımıdır: \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
• Bu ifade, 4 faktöriyel olarak yazılır: \( 4! \).
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

Dolayısıyla, 4 farklı mektubu 4 farklı posta kutusuna 24 farklı şekilde atabiliriz. Bu, \( P(4, 4) \) permütasyonuna eşittir.

Bu soruda, elimizdeki rakamları kullanarak 3 basamaklı ve rakamları birbirinden farklı sayılar oluşturmamız isteniyor. Bu bir permütasyon problemidir.

• Öncelikle 3 basamaklı bir sayı oluşturacağımız için, sayının yüzler, onlar ve birler basamağı olacaktır.
• Yüzler basamağı için elimizde 4 rakam (3, 4, 5, 6) var. Bu basamağa 4 farklı rakam gelebilir.
• Rakamlar farklı olacağı için, yüzler basamağında kullanılan rakam bir daha kullanılamaz. Geriye 3 rakam kalır.
• Onlar basamağı için kalan 3 rakamdan birini kullanabiliriz. Bu basamağa 3 farklı rakam gelebilir.
• Rakamlar yine farklı olacağı için, yüzler ve onlar basamağında kullanılan rakamlar bir daha kullanılamaz. Geriye 2 rakam kalır.
• Birler basamağı için kalan 2 rakamdan birini kullanabiliriz. Bu basamağa 2 farklı rakam gelebilir.
• Toplam farklı 3 basamaklı sayı adedini bulmak için bu basamaklardaki seçenek sayılarını çarparız: \( 4 \times 3 \times 2 \).
• Bu ifade, \( P(4, 3) \) permütasyonuna eşittir.
• \( P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \)

Sonuç olarak, 3, 4, 5, 6 rakamlarını kullanarak 24 tane 3 basamaklı rakamları farklı doğal sayı yazılabilir.

Bu soruda, öğrencilerin seçilme sırası önemlidir çünkü birinci, ikinci ve üçüncü olmak farklı durumları ifade eder. Bu bir permütasyon problemidir.

• Toplam öğrenci sayısı \( n=6 \).
• Seçilecek sıra sayısı (birinci, ikinci, üçüncü) \( k=3 \).
• Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) kullanılır.
• \( P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} \)
• \( \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \)
• \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \)

Bu, şu şekilde de düşünülebilir:

• Birinci ödülü alacak öğrenci için 6 seçenek vardır.
• İkinci ödülü alacak öğrenci için kalan 5 seçenek vardır.
• Üçüncü ödülü alacak öğrenci için kalan 4 seçenek vardır.
• Toplam farklı sıralama: \( 6 \times 5 \times 4 = 120 \)

Dolayısıyla, 6 öğrenciden 3 tanesi birinci, ikinci ve üçüncü olarak 120 farklı şekilde seçilebilir.

Bu soruda, müşteri bir akıllı telefon ve bir tablet seçecektir. Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve her bir seçim için farklı olasılıklar vardır.

• Müşteri, 4 farklı akıllı telefon modelinden birini seçebilir. Bu seçim için 4 farklı olasılık vardır.
• Müşteri, 3 farklı tablet modelinden birini seçebilir. Bu seçim için 3 farklı olasılık vardır.
• Toplam farklı seçim sayısını bulmak için, akıllı telefon seçim olasılığı ile tablet seçim olasılığını çarparız.
• Toplam seçim sayısı = (Akıllı telefon seçeneği sayısı) \( \times \) (Tablet seçeneği sayısı)
• Toplam seçim sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \)

Bu tür sorularda "ve" bağlacı çarpma işlemi anlamına gelir. Eğer "veya" bağlacı olsaydı toplama işlemi yapılırdı.
👉 Bu, temel sayma prensibinin bir uygulamasıdır ve permütasyonun daha geniş bir bakış açısını sunar.

Bu soruda, 5 kişinin yan yana dizilmesi söz konusudur. Dizilme sırası önemlidir, çünkü her farklı sıralama yeni bir fotoğraf anlamına gelir. Bu bir permütasyon problemidir.

• Toplam kişi sayısı \( n=5 \).
• Bu 5 kişinin yan yana dizileceği sıra sayısı da \( k=5 \) olur.
• Bu durum, \( P(5, 5) \) permütasyonuna eşittir ve aynı zamanda 5 faktöriyeldir (\( 5! \)).
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
• \( 5! = 120 \)

Dolayısıyla, 5 kişi bir fotoğraf çekimi için yan yana 120 farklı şekilde dizilebilir.
💡 Bu, "tekrar etmeyen" permütasyon örneğidir.

Bu soruda, 5 basamaklı ve rakamları farklı bir sayı oluşturacağız. Sayının belirli koşulları var: 3 ile başlayacak ve 4 ile bitecek.

• Sayımız 5 basamaklı olacak: _ _ _ _ _
• Sayı 3 ile başlayacak: 3 _ _ _ _
• Sayı 4 ile bitecek: 3 _ _ _ 4
• Kullanılacak rakamlar: 1, 2, 3, 4, 5. Rakamlar farklı olmalı.
• Şu ana kadar 3 ve 4 rakamlarını kullandık. Geriye kalan rakamlar: 1, 2, 5.
• Ortadaki 3 basamağı (yüzler, onlar, birler) kalan 3 rakamla (1, 2, 5) doldurmamız gerekiyor.
• Bu 3 rakamı ortadaki 3 boşluğa kaç farklı şekilde sıralayabiliriz? Bu bir permütasyon problemidir.
• Ortadaki 3 basamak için 3 seçenek vardır.
• Bu 3 basamağı doldurmak için \( P(3, 3) \) yani \( 3! \) permütasyonunu kullanırız.
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Bu 6 farklı sıralama şunlardır:

• 31254
• 31524
• 32154
• 32514
• 35124
• 35214

Dolayısıyla, 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak oluşturulabilecek 5 basamaklı rakamları farklı sayılardan 6 tanesi 3 ile başlar ve 4 ile biter.

Bu soruda, öğrenci farklı türlerden kitaplar seçecektir. Her türden seçim, diğer türden bağımsızdır. Bu tür sorularda "ve" bağlacı çarpma işlemi anlamına gelir.

• Öğrenci, 5 farklı romandan 2 tanesini seçecektir. Bu bir kombinasyon problemidir çünkü romanların kendi arasındaki sırası önemli değildir.
• Roman seçimi için \( C(5, 2) \) kullanılır.
• \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• Öğrenci, 3 farklı tarih kitabından 1 tanesini seçecektir.
• Tarih kitabı seçimi için \( C(3, 1) \) kullanılır.
• \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \)
• Toplam farklı seçim sayısını bulmak için, roman seçim sayısı ile tarih kitabı seçim sayısını çarparız.
• Toplam seçim sayısı = (Roman seçimi sayısı) \( \times \) (Tarih kitabı seçimi sayısı)
• Toplam seçim sayısı = \( 10 \times 3 = 30 \)

Bu öğrenci, 2 roman ve 1 tarih kitabı olmak üzere toplam 30 farklı şekilde seçim yapabilir.
📌 Not: Bu soruda kombinasyon kullanılmıştır çünkü seçilen kitapların kendi arasındaki sırası önemli değildir. Eğer kitapların belirli bir sıraya konulması istenseydi permütasyon kullanılırdı.